Целая часть

 В математике, целая часть вещественного числа x — округление x до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье , или пол . Наряду с полом существует парная функция — потолок  — округление x до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры


 Впервые квадратные скобки ([x]) для обозначения целой части числа x использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности. Это обозначение считалось стандартным, пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил округление числа x до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» x и обозначать x и x соответственно.
 В современной математике используются оба обозначения, [x] и x, однако существует тенденция перехода к терминологии и обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальная неоднозначность понятия «целая часть числа». Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую часть числа −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением [x]x=3, однако в некоторых калькуляторах имеется функция целой части числа INT, для отрицательных чисел определяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. В терминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:


  \{begin\{matrix\} \{lfloor 2\{,\}7 \{rfloor = 2, \& \{lfloor -2\{,\}7 \{rfloor = -3, \{\{ \{lceil 2\{,\}7 \{rceil = 3, \& \{lceil -2\{,\}7 \{rceil = -2 \{end\{matrix\}

Определения


 Функция пол :xx определяется как наибольшее целое, меньшее или равное x:

x=max{nZnx}
  Функция потолок :xx определяется как наименьшее целое, большее или равное x:

x=min{nZnx}
  Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):


  \{begin\{align\} \{lfloor x \{rfloor = n \& \{Longleftrightarrow \& n \{leqslant x \textless n+1 \& \{Longleftrightarrow \& x-1 \textless n \{leqslant x \{\{ \{lceil x \{rceil = n \& \{Longleftrightarrow \& n-1 \textless x \{leqslant n \& \{Longleftrightarrow \& x \{leqslant n \textless x+1. \{end\{align\}

Свойства


 В формулах, записанных ниже, буквами x и y обозначены вещественные числа, а буквами n и m — целые.

Пол и потолок как функции вещественной переменной


 Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:


  \{lfloor \{, \{cdot \{, \{rfloor\{colon \{mathbb\{R\} \{to \{mathbb\{Z\}, \{quad \{lceil \{, \{cdot \{, \{rceil\{colon \{mathbb\{R\} \{to \{mathbb\{Z\}, \{quad
 Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.
 Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.
 При этом функция пол является:

  • полунепрерывной сверху и
  • непрерывной справа.

 Функция потолок является:

  • полунепрерывной снизу и
  • непрерывной слева.

Связь функций пол и потолок


 Для произвольного числа x верно неравенство

xxx
  Для целого x пол и потолок совпадают:

x=xxZx=x
  Если x — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:


  \{lceil x \{rceil - \{lfloor x \{rfloor = \{begin\{cases\} 1, \& x \{notin \{mathbb\{Z\} \{\{ 0, \& x \{in \{mathbb\{Z\} \{end\{cases\}
 Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

x=x,x=x

Пол/потолок: неравенства


 Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами


 \{begin\{matrix\} n \{leqslant x \& \{Longleftrightarrow \& n \{leqslant \{lfloor x \{rfloor \& \{qquad x \{leqslant n \& \{Longleftrightarrow \& \{lceil x \{rceil \{leqslant n \{\{ n \textless x \& \{Longleftrightarrow \& n \textless \{lceil x \{rceil \& \{qquad x \textless n \& \{Longleftrightarrow \& \{lfloor x \{rfloor \textless n \{end\{matrix\} Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.
 Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:


  x \{leqslant y \{Rightarrow \{lfloor x \{rfloor \{leqslant \{lfloor y \{rfloor , \{quad x \{leqslant y \{Rightarrow \{lceil x \{rceil \{leqslant \{lceil y \{rceil

Пол/потолок: сложение


 Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка

 \{lfloor x + n \{rfloor = \{lfloor x \{rfloor + n , \{quad
  \texttt        \{lceil  x + n \{rceil =  \{lceil x  \{rceil + n
 Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:


  \{lfloor x \{rfloor + \{lfloor y \{rfloor \{leqslant \{lfloor x + y \{rfloor \{leqslant \{lfloor x \{rfloor + \{lfloor y \{rfloor + 1 , \{quad \{lceil x \{rceil + \{lceil y \{rceil - 1 \{leqslant \{lceil x + y \{rceil \{leqslant \{lceil x \{rceil + \{lceil y \{rceil

Пол/потолок под знаком функции


 Имеет место следующее предложение:
 Пусть f(x) — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

f(x)ZxZ
  Тогда


  \{lfloor f(x) \{rfloor = \{lfloor f(\{lfloor x \{rfloor) \{rfloor, \{quad \{lceil f(x) \{rceil = \{lceil f(\{lceil x \{rceil) \{rceil всякий раз, когда определены f(x),f(x),f(x).
 В частности,


  \{left \{lfloor \{frac\{x+m\}\{n\} \{right \{rfloor = \{left \{lfloor \{frac\{\{left \{lfloor x \{right \{rfloor + m\}\{n\} \{right \{rfloor ,\{quad \{left \{lceil \{frac\{x+m\}\{n\} \{right \{rceil = \{left \{lceil \{frac\{\{left \{lceil x \{right \{rceil + m\}\{n\} \{right \{rceil если m и n — целые числа, и n>0.

Пол/потолок: суммы


 Если m,n — целые числа, m>0, то

  n=\{left\{lfloor\{frac\{n\}\{m\}\{right\{rfloor + \{left\{lfloor\{frac\{n+1\}\{m\}\{right\{rfloor +\{dots+\{left\{lfloor\{frac\{n+m-1\}\{m\}\{right\{rfloor
  Вообще, если x — произвольное вещественное число, а m — целое положительное, то

  \{lfloor mx \{rfloor=\{left\{lfloor x\{right\{rfloor + \{left\{lfloor x+\{frac\{1\}\{m\}\{right\{rfloor +\{dots+\{left\{lfloor x+\{frac\{m-1\}\{m\}\{right\{rfloor
  Имеет место более общее соотношение


 \{sum\_\{0 \{leqslant k \textless m\} \{left \{lfloor \{frac\{nk+x\}\{m\} \{right \{rfloor = d \{left \{lfloor \{frac\{x\}\{d\} \{right \{rfloor + \{frac\{(m-1)(n-1)\}\{2\} + \{frac\{d-1\}\{2\}, \{quad d=(m,n)
 Так как правая часть этого равенства симметрична относительно m и n, то справедлив следующий закон взаимности:


  \{sum\_\{0 \{leqslant k \textless m\} \{left \{lfloor \{frac\{nk+x\}\{m\} \{right \{rfloor = \{sum\_\{0 \{leqslant k \textless n\} \{left \{lfloor \{frac\{mk+x\}\{n\} \{right \{rfloor , \{quad m, n\textgreater0

Разложимость в ряд


 Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:


  [x]=\{sum\_\{i=-\{infty\}\^\{+\{infty\}i\{left(\{theta(x-i)-\{theta(x-i-1)\{right), где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду


  \{sum\_\{i=-\{infty\}\^\{+\{infty\}\{theta\{left(x-i\{right), который расходится.

Применение


 Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа


 Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно

logbn+1

Округление


 Ближайшее к x целое число может быть определено по формуле

(x)=x+0,5

Бинарная операция mod


 Операция «остаток по модулю», обозначаемая \mod, может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если x,y — произвольные вещественные числа, и y0, то неполное частное от деления x на y равно

x/y,
  а остаток

xmody=xyx/y

Дробная часть


 Дробная часть вещественного числа x по определению равна

{x}=xmod1=xx

Количество целых точек промежутка


 Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами α и β, то есть количество целых чисел n, удовлетворяющий неравенству

αnβ
  В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

αnβ.
  Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами α и β, равное βα+1.
 Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже .


  \{\#\{\{ n \{in \{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha \{leqslant n \{leqslant \{beta \{\} = \{lfloor \{beta \{rfloor - \{lceil \{alpha \{rceil + 1


  \{\#\{\{ n \{in \{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha \{leqslant n \textless \{beta \{\} = \{lceil \{beta \{rceil - \{lceil \{alpha \{rceil


  \{\#\{\{ n \{in \{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha \textless n \{leqslant \{beta \{\} = \{lfloor \{beta \{rfloor - \{lfloor \{alpha \{rfloor


  \{\#\{\{ n \{in \{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha \textless n \textless \{beta \{\} = \{lceil \{beta \{rceil - \{lfloor \{alpha \{rfloor - 1 (Через #M обозначена мощность множества M).
 Первые три результата справедливы при всех αβ, а четвёртый — только при α<β.

Теорема Рэлея о спектре


 Пусть α и β — положительные иррациональные числа, связанные соотношением

1α+1β=1.
  Тогда в ряду чисел

α,β,2α,2β,,mα,mβ,
  каждое натуральное nN встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности

{mαmN} и {mβmN},
  называемые , образуют разбиение натурального ряда.

В информатике


В языках программирования


 Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка \texttt floor, ceil.

В системах вёрстки


 В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \texttt\{lfloor, \texttt\{rfloor, \texttt\{lceil, \texttt\{rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.