Диофантовы приближения

 Наибольшее целое число меньшее или равное x называется целой частью числа x (обозначается как [x] ). А x=x[x] дробной частью числа x. Расстояние от числа до ближайшего целого определяется, как
|x|s=min(x,1x).(1)
Дробь pq,(q>0) называется наилучшим (диофантовым) приближением первого рода к числу α, если для любых a и b таких, что 0<bq и pqab, верно
αpq<αab.
Дробь pq,(q>0) называется наилучшим (диофантовым) приближением второго рода к числу α, если для любых a и b таких, что 0<bq и pqab, верно
|qαp|<|bαa|.
В терминах расстояния последнее условие можно записать как |qα|s<|bα|s В многомерном случае, рассмотрим матрицу действительных чисел
α11α21αn1α12α22αn2α1mα2mαnm
. Целочисленный вектор (p⃗ ,q⃗ )=(p1,p2,,pn,q1,q2,,qm) называется наилучшим (диофантовым) приближением, если для любых целочисленных векторов (a⃗ ,b⃗ )=(a1,a2,,an,b1,b2,,bm) таких, что 0<|bi||qi|,i=1,m¯¯¯¯¯¯¯¯¯, верно
1000010000100001α11α21αj1αn1α12α22αj2αn2α1mα2mαjmαnma1a2anb1b2bm=max1jnr(a,b)1r(a,b)2r(a,b)jr(a,b)n=
=r(a,b)<r(p,q)=
=max1jnr(p,q)1r(p,q)2r(p,q)jr(p,q)n=1000010000100001α11α21αj1αn1α12α22αj2αn2α1mα2mαjmαnmp1p2ldotspnq1q2ldotsqm
или же
max1jnj=1mα1jbjsj=1mα2jbjsj=1mαnjbjs=r(a,b)<r(p,q)=max1jnj=1mα1jqjsj=1mα2jqjsj=1mαnjqjs
Очевидно, что для того чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы pj было ближайшим целым числом к числу αj1q1+αj2q2+αjmqm.