Диофантовы и лиувиллевы числа

 В математике, иррациональное число x называется диофантовым, если при его приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:


  \{exists C, \{alpha\textgreater0\{colon \{quad \{forall p\{in \{Z, q\{in\{N \{quad \{leftx-\{frac\{p\}\{q\} \{right \{geqslant \{frac\{C\}\{q\^\{\{alpha\}\}. В противном случае, число x называют лиувиллевым.

Свойства



  • Всякое алгебраическое иррациональное число диофантово. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.
  • Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега.
  • Лиувиллевы числа, напротив, типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

Постоянная Лиувилля


 Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля, определяемая как

k=110k!=0,1100010000000000000000010000