Теорема Гурвица

Теорема.(Гурвиц, 1891). Максимально возможное значение константы C такой, что для любого α существует бесконечно много различных чисел p и q, удовлетворяющих
|αpq|<1Cq2.(1)
равно 5.
Доказательство. Докажем вначале, что при C=5, существует бесконечно много рациональных чисел pq удовлетворяющих (1), а потом покажем, что при C<5, их лишь конечное число.

  1. Покажем, что если число α имеет подходящую дробь порядка k, то справедливо по крайней мере одно из следующих неравенств:
    |αpkqk|<15qk2,|αpk1qk1|<15qk12,|αpk2qk2|<15qk22.
    Для этого, положим для всех k1:
    φk=qk2qk1,φk+rk=ψk.
    Лемма. Если k>1,ψk5,ψk15, то φk>512. Доказательство. В самом деле, так как
    1φn+1=qnqn1=an+φnиrn=an+1rn+1.
    То
    1φk+1+1rk+1=φk+rk=ψk.
    В силу условий леммы
    φk+rk5,1φk+1rk5.
    Откуда
    (5φk)(51φk)rk1rk=1.
    А так как φk – рациональное получим, что φk+1φk<5. Или же
    (52φk)2<14.
    Отсюда непосредственно следует, что φk>512.
    Вернемся к доказательству теоремы. Предположим противное
    |αpiqi|15qi2,(i=k2,k1,k).
    Тогда (пользуясь результатами, полученными выше),
    |αpiqi|=|piri+1+pi1qiri+1+qi1piqi|=1qi(qiri+1+qi1)=
    =1qi2(ri+1+φi+1)=1ψi+1qi2.
    и, следовательно, ψi+15. На основании леммы заключаем, что
    φk>512,φk+1>512.
    А значит ak=1φk+1φk<251512=1, что невозможно. Полученное противоречие, очевидно, доказывает первую часть теоремы.
  2. Рассмотрим число α=[1;1;1;]. Покажем, что для него нельзя уменьшить константу C. Очевидно, что
    α=1+1αα2α1=0α=1+52.
    Следовательно,
    |αpkqk|=|pkα+pk1qkα+qk1pkqk|=1qi(qiα+qi1)=1qk2(α+qkqk1).
    Несложно понять, что в общем случае
    qkqk1=akqk1+qk2qk1=ak+qk2qk1=
    =[ak;qk2qk1]==[ak;ak1;;a1].
    В нашем случае
    qkqk1=[1;1;1;;1]α(k).
    Откуда
    qk1qk=1α+εk=512+εk,где εk0+0,при k.
    То есть
    |αpkqk|=1qk2(5+12+512+εk)=1qk2(5+εk).
    Отсюда следует, что каково бы ни было число K<15, при достаточно больших k будет необходимо иметь
    |αpkqk|>Kqk2.
    Это и показывает, что константа C не может быть никак улучшена. Тем самым, мы полностью доказали теорему.