Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Теорема Гурвица

Теорема.(Гурвиц, 1891).Максимально возможное значение константы C такой, что для любого α существует бесконечно много различных чисел p и q, удовлетворяющих|αpq|<1Cq2.(1)равно 5.Доказательство.Докажем вначале, что при C=5, существует бесконечно много рациональных чисел pq удовлетворяющих (1), а потом покажем, что при C<5, их лишь конечное число.

  1. Покажем, что если число α имеет подходящую дробь порядка k, то справедливо по крайней мере одно из следующих неравенств:|αpkqk|<15q2k,|αpk1qk1|<15q2k1,|αpk2qk2|<15q2k2.Для этого, положим для всех k1:φk=qk2qk1,φk+rk=ψk.Лемма.Если k>1,ψk5,ψk15, то φk>512.Доказательство.В самом деле, так как1φn+1=qnqn1=an+φnиrn=an+1rn+1.То1φk+1+1rk+1=φk+rk=ψk.В силу условий леммыφk+rk5,1φk+1rk5.Откуда(5φk)(51φk)rk1rk=1.А так как φk – рациональное получим, что φk+1φk<5.Или же(52φk)2<14.Отсюда непосредственно следует, что φk>512.
    Вернемся к доказательству теоремы. Предположим противное|αpiqi|15q2i,(i=k2,k1,k).Тогда (пользуясь результатами, полученными выше),|αpiqi|=|piri+1+pi1qiri+1+qi1piqi|=1qi(qiri+1+qi1)==1q2i(ri+1+φi+1)=1ψi+1q2i.и, следовательно, ψi+15. На основании леммы заключаем, чтоφk>512,φk+1>512.А значит ak=1φk+1φk<251512=1, что невозможно.Полученное противоречие, очевидно, доказывает первую часть теоремы.
  2. Рассмотрим число α=[1;1;1;]. Покажем, что для него нельзя уменьшить константу C. Очевидно, чтоα=1+1αα2α1=0α=1+52.Следовательно,|αpkqk|=|pkα+pk1qkα+qk1pkqk|=1qi(qiα+qi1)=1q2k(α+qkqk1).Несложно понять, что в общем случаеqkqk1=akqk1+qk2qk1=ak+qk2qk1==[ak;qk2qk1]==[ak;ak1;;a1].В нашем случаеqkqk1=[1;1;1;;1]α(k).Откудаqk1qk=1α+εk=512+εk,где εk0+0,при k.То есть|αpkqk|=1q2k(5+12+512+εk)=1q2k(5+εk).Отсюда следует, что каково бы ни было число K<15, при достаточно больших k будет необходимо иметь|αpkqk|>Kq2k.Это и показывает, что константа C не может быть никак улучшена. Тем самым, мы полностью доказали теорему.