Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если α — алгебраическое число степени n>1, а p и q — любые целые числа (q0), то имеет место неравенство

|αpq|>Cqn
  где C — положительная константа, зависящая только от α и выражаемая в явном виде через сопряженные с α величины.
 С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

ξ=n=112n!.

Обобщения


 При n=2 теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для n3 теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.
 В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел α степени n и ν>n2+1 справедливо неравенство

|αpq|>Cqν    (*)
  Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

ν>mins={1,2,,n1}(ns+1+s), где s — целое,
  в частности, при ν>2n. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при ν>2n. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом ν>2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число ξ, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p/q, удовлетворяющих неравенству

|ξpq|<1q2.
  Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная C=C(α,ν) в неравенстве зависит от величин α и ν.