Число Маркова

Число Маркова — это положительные числа x, yили z, являющиеся частями решения диофантова уравнения Маркова
x2+y2+z2=3xyz,

 которое изучал Андрей Марков.
 Первые несколько чисел Маркова

 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... ,
 появляющиеся как координаты троек Маркова

 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34),(1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1,233, 610), (89, 233, 62210), и т.д.
 Существует бесконечно много чисел Маркова и троек Маркова.

ДеревоМаркова


 Существует простой способ получения новой тройки Маркова из старойтройки (xyz). Сначала нормализуем тройкуx,y,z, переставив числа так, чтобыx ≤ y ≤ z. Далее, если(xyz) является тройкой Маркова, то совершивпрыжок Виета, получим (xy, 3xy − z). Еслиприменить эту операцию второй раз, получим исходную тройку. Если связатькаждую нормализованную тройку Маркова с 1, 2 или 3 нормализованнымитройками, можно получить граф (дерево), имеющий в корне тройку (1,1,1),как на рисунке. Этот граф связен. Другими словами, любая тройка Марковаможет быть получена из (1,1,1) в результате последовательности описаннойвыше операции. Если мы начнём, скажем, с тройки (1, 5, 13), мы получимтри соседние тройки — (5, 13, 194), (1, 13, 34) и (1, 2, 5) дереваМаркова, если в качестве z подставить 1, 5 и 13 соответственно.Если начать с (1, 1, 2) и перед каждой операцией менять местами yи z, получим тройки с числами Фибоначчи. Если же начать с той жетройки и менять местами x и z, получим числа Пелля.
 Все числа Маркова, полученные первым способом, являются числамиФибоначчи с нечётными индексами , а полученные вторым способом —числами Пелля с нечётными индексами (или такими числами n, что2n2 − 1 является квадратом, ). Таким образом,имеется бесконечно много троек Маркова вида
(1,F2n1,F2n+1),

 где Fx является x-м числомФибоначчи. Таким же образом, существует бесконечно много троек Марковавида
(2,P2n1,P2n+1),

 где Pxx-ое число Пелля

Другиесвойства


 Кроме двух наименьших особенных троек (1,1,1) и (1,1,2) всетройки Маркова состоят из трёх различных целых чисел.
Гипотеза единственности утверждает, что для заданного числаМаркова c существует в точности одно нормализованное решение, вкотором c является наибольшим элементом — доказательства этогофакта объявлялись, но ни одно из них не признано удовлетворительным.
 Нечётные числа Маркова сравнимы с 1 по модулю 4, чётные же числасравнимы с 2 по модулю 32.
 В статье 1982 года Дон Цагир высказал гипотезу, что n-ое числоМаркова асимптотически задаётся выражением
mn=13eCn+o(1)
, где C=2.3523414972.Более того, он указал на то, что x2+y2+z2=3xyz+4/9,приближение исходного диофантова уравнения, эквивалентноf(x)+f(y)=f(z) с f(t) = arch(3t/2). Гипотезудоказали Грег Макшейн и Игорь Ривин в 1995, используя техникугиперболической геометрии.
n-ое можно вычислить из n-го числа Маркова по формуле
Ln=94mn2.

 Числа Маркова являются суммами (неуникальных) пар квадратов.

ТеоремаМаркова


 Марков показал, что если
f(x,y)=ax2+bxy+cy2

 является неопределённой бинарной квадратичной формой с вещественнымикоэффициентами и дискриминант D=b24ac, то существуют целые числаxy, для которых f принимает ненулевое значение,по абсолютной величине не превосходящее
D3
,
 если только f не имеет вид формы Маркова — умноженную наконстанту форму
px2+(3p2a)xy+(b3a)y2
,
 где (pqr) является тройкой Маркова и
 $$0

Матрицы


 Если X и Y принадлежатSL2(C), то

 Tr(X) Tr(Y) Tr(X⋅Y) +Tr(XYX−1Y−1)+ 2 = Tr(X)2 + Tr(Y)2+ Tr(XY)2
 так что в случае Tr(XYX−1Y−1) = −2

 Tr(X) Tr(Y) Tr(XY) =Tr(X)2 + Tr(Y)2 +Tr(XY)2
 В частности, если X и Y имеют целочисленные составляющие,то Tr(X)/3, Tr(Y)/3 и Tr(XY)/3 являетсятройкой Маркова. Если XYZ = Е, тоTr(XY) = Tr(Z), более симметричны, если X,Y и Z входят в SL2(Z) сXYZ = Е и коммутатор двух из них имеет след −2,тогда их следы/3 являются тройкой Маркова.