Теорема Эрдёша Эннинга

Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, чтобесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояниямежду точками множества только в том случае, когда все точки лежат наодной прямой. Названа по именам Пала Эрдёша и , опубликовавших еёдоказательство в 1945 году.

Рациональноерасстояние


 Хотя не существует бесконечного множества точек, имеющих целые взаимныерасстояния, существует бесконечное множество точек, не лежащих на однойпрямой, расстояния между которыми являются рациональными числами.
 Например, на единичной окружности множество S точек(cosθ,sinθ), для которых tanθ4 —рациональное число. Для любых таких точек и sinθ2, иcosθ2 рациональны. Пусть θ и ϕ определяютдве точки в S, тогда расстояние|2sinθ2cosϕ22sinϕ2cosθ2|рационально.
 Известно, что окружность радиусом ρ содержит плотное множествоточек с рациональными взаимными расстояниями тогда и только тогда, когдаρ2 рационально.
 Для любого конечного множества точек S со взаимными рациональнымирасстояниями, можно найти подобное множество точек с целыми взаимнымирасстояниями, растянув S (умножив расстояния на наименьшее общеекратное знаменателей расстояний). Таким образом, существует как угоднобольшое множество точек на плоскости с целыми расстояниями. Однакодобавление точек в множество S может привести к увеличению множителярастяжения, так что такая конструкция не дает возможность перевестибесконечное множество точек с рациональными расстояниями в бесконечноемножество точек с целыми расстояниями.
 Остается неизвестным, существует ли множество точек с рациональнымивзаимными расстояниями, являющееся плотным подмножеством евклидовойплоскости.

Доказательствотеоремы


 Пусть множество точек S на плоскости имеет целочисленные взаимныерасстояния и содержит три точки A, B и C, не лежащие на однойпрямой, взаимные расстояния между которыми не превосходят δ.Покажем, что число точек в множестве S не превосходит 4(δ+1)2.
 Пусть d(A,B), d(A,C), и d(B,C) — расстояния между точками A,B и C. Пусть X — любая другая точка из S. Из неравенстватреугольника следует, что |d(A,X)d(B,X)| — неотрицательное целоечисло, не превосходящее δ. Для каждого целого числа i изинтервала между 1 и δ+1, геометрическое место точек,удовлетворяющее равенству |d(A,X)d(B,X)|=i, формирует гиперболу с Aи B в фокусах. Точка X должна лежать на одной из этих δ+1гипербол.
 Из соображений симметрии, X должна лежать также на одной из δ+1гипербол, имеющих B и C в фокусах. Каждая из пар различных гипербол,одна заданная точками A и B, а вторая — точками B с C, могутпересекаться максимум в четырёх точках, а каждая точка из S (включаяA, B и C) является одной из точек пересечения. Имеется максимум4(δ+1)2 точек пересечения пар гипербол, а следовательно,максимум 4(δ+1)2 точек в множестве S.
 Таким образом, множество точек на плоскости, не лежащих на одной прямойи имеющих целые взаимные расстояния, можно дополнить только конечнымчислом точек. Множество точек с целыми координатами и целымирасстояниями, к которому нельзя добавить точки сохраняя оба свойства,называется графом Эрдёша — Диофанта.