Processing math: 52%

Геронов треугольник

Геронов треугольник — треугольник, стороны и площадь которогоявляются целыми числами. Героновы треугольники названы в честьгреческого математика Герона. Термин иногда понимается несколько шире ираспространяется на треугольники, имеющие рациональные стороны иплощадь.

Свойства


 Все прямоугольные треугольники, стороны которых образуют пифагоровытройки, являются героновыми, поскольку стороны их по определениюцелочисленны, а площадь тоже целочисленна, поскольку является половинойпроизведения катетов, один из которых обязательно имеет чётную длину.
 В качестве примера геронова треугольника, не имеющего прямого угла,можно привести равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадькоторого равна 12. Этот треугольник получается путём объединения двухпрямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 вдоль стороны длиной4. Этот подход работает и в общем случае, как показано на рисункесправа. Берётся пифагорова тройка (a, b, c), гдеc — наибольшая сторона, затем другая тройка (a,d, e), в которой наибольшей стороной будет e,строятся треугольники по заданным длинам сторон и объединяются вдольстороны с длиной a, получая треугольник со сторонами c,e и b + d и площадью

A=12(b+d)a (половина произведения основания на высоту).
 Если a чётно, то площадь будет целым числом. Менее очевиденслучай, когда a нечётно, но и в этом случае A остаётсяцелым, поскольку стороны b и d должны быть чётнымичислами, а следовательно, и b+d будет чётным тоже.
 Некоторые героновы треугольники невозможно получить объединениемпрямоугольных треугольников с целочисленными сторонами методом,описанным выше. Так, например, геронов треугольник со сторонами 5, 29,30 и площадью 72 нельзя получить из двух пифагоровых треугольников,поскольку ни одна из его высот не является целым числом. Нельзя такжепостроить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровыхтреугольников. Такие героновы треугольники называютсянеразложимыми. Однако, если разрешить пифагоровы тройки срациональными значениями, отказавшись от целочисленности, то разбиениена два прямоугольных треугольника с рациональными сторонами всегдасуществует, поскольку все высоты геронова треугольника являютсярациональными числами (поскольку высота равна удвоенной площади,делённой на основание, и оба эти числа являются целыми). Так, героновтреугольник со сторонами 5, 29, 30 можно получить из рациональныхпифагоровых треугольников со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29.Заметим, что рациональные пифагоровы тройки являются просто версиямицелочисленных пифагоровых троек, поделённых на целое число.
 Другие свойства героновых треугольников можно найти в статьеЦелочисленный треугольник\#Героновы треугольники.

Точная формула для героновыхтреугольников


 Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные значениям

a=n(m2+k2)
b=m(n2+k2)
c=(m+n)(mnk2)
 Полупериметр =s=(a+b+c)/2=mn(m+n)
 Площадь =mnk(m+n)(mnk2)
 Радиус вписанной окружности =k(mnk2)
sa=n(mnk2)
sb=m(mnk2)
sc=(m+n)k2
 для целых m, n и k, где

gcd
mn > k^2 \ge m^2n/(2m+n)
m \ge n \ge 1.
 Коэффициент пропорциональности в общем случае является рациональнымчислом \frac{p}{q} , где  q=\gcd{(a,b,c)}  приводит полученныйгеронов треугольник к примитивному, а  p  растягивает его до требуемыхразмеров. Например, взяв m = 36, n = 4 и k = 3,получим треугольник со сторонами a = 5220, b = 900 иc = 5400, который подобен геронову треугольнику 5, 29, 30, икоэффициент пропорциональности имеет числитель p = 1 изнаменатель q = 180.
 Смотрите также Героновы треугольники с одним углом, вдвое большимдругого, Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессиии Равнобедренные героновы треугольники.

Примеры


 Список примитивных целочисленных героновых треугольников,отсортированный по площади и, в случае равенства площадей, по периметру.«Примитивный» означает, что наибольший общий делитель трёх длин сторонравен 1.
Длина стороныПлощадьРадиус вписанной
n − 1nn + 1
345
131415
515253
193194195
723724725
270127022703
100831008410085
376333763437635

 Следующее значение для n можно найти, умножив предыдущее на 4, азатем вычтя значение, ему предшествующее (52 = 4 × 14 − 4,194 = 4 × 52 − 14, и т. д.). Таким образом,

n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2},
 где t означает номер строки в таблице. Эта последовательностьявляется последовательностью Люка. Можно также получить этупоследовательность по формуле (2 + \sqrt{3})^t + (2 - \sqrt{3})^t длявсех n. Если положить A = площадь, а y = радиусвписанной окружности, то

\big((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\big)^2-2\big((n-1)^4+n^4+(n+1)^4\big) = (6n y)^2 = (4A)^2,
 где \{n, y\} являются решениями уравненияn2 − 12y2 = 4.Небольшая подстановка n = 2x даёт известное уравнениеПелля x2 − 3y2 = 1,решения которого можно получить из разложения √3 в непрерывную дробь
 Переменная n имеет вид n=\sqrt{2 + 2 k}, где k равно 7,97, 1351, 18817, \ldots. Числа в этой последовательности имеютсвойство, что k последовательных целых имеют целочисленноесреднеквадратическое отклонение.