xy=yx

Целочисленный треугольник

Целочисленный треугольник — это треугольник, длины всехсторон которого выражаются целыми числами. Рациональныйтреугольник можно определить как треугольник, стороны которого являютсярациональными числами. Любой рациональный треугольник можно привести кцелочисленному (умножив все стороны на одно и то же число, наименьшееобщее кратное знаменателей), так что нет существенной разницы междуцелочисленными и рациональными треугольниками. Заметим, однако, чтосуществуют и другие определения ``рационального треугольника''. Так, в1914 Кармайкл использовал этот термин для обозначения того, что мытеперь называем героновым треугольником. Сомос (Somos) использует терминдля треугольников, отношения сторон которого являются рациональнымичислами. Конвей и Гай определяют рациональный треугольник кактреугольник с рациональными сторонами и углами (в градусах) — в этомслучае рациональными будут только равносторонние треугольники срациональными сторонами.
 У целочисленных треугольников есть несколько общих свойств (см. первыйраздел ниже). Все остальные разделы посвящены целочисленнымтреугольникам со специфичными свойствами.

Основные свойства целыхтреугольников


Целочисленные треугольники с заданнымпериметром


 Любая тройка положительных чисел может стать сторонами треугольника,необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самаядлинная сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждаятакая тройка задаёт единственный (с точностью до конгруэнтности)треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметромp равно числу разбиений p на три положительные части,удовлетворяющие неравенству треугольника. Эти числа являются ближайшимик для чётных p и к для нечётных. Это также означает, что числоцелочисленных треугольников с чётным периметром p = 2nравно числу с нечётным периметром p = 2n — 3. Такимобразом, нет треугольников с периметрами 1, 2 и 4, имеется по одному спериметрами 3, 5, 6 и 8, и по два с периметрами 7 и 10.Последовательность числа целочисленных треугольников с периметрамиp, начиная с p = 1:

 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 \ldots

Целочисленные треугольники с заданной большейстороной


 Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции) сзаданной наибольшей стороной c равно числу троек(abc), таких, чтоa + b \textgreater c иa ≤ b ≤ c. Это значение равноCeiling[] * Floor[]. Для чётных c это равно удвоенномутреугольному числу ( + 1), а для нечётных c это равно квадрату .Это означает, что число целочисленных треугольников с наибольшейстороной c превышает число целочисленных треугольников снаибольшей стороной c−2 на c. Последовательность числанеконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей сторонойc, начиная с c = 1:

 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90\ldots
 Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции) с даннойнаибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутриполуокружности диаметра c, равно числу троек(abc), таких, чтоa + b \textgreater c , a2 + b2 ≤ c2и a ≤ b ≤ c. Это число совпадает с числомцелочисленных треугольников с тупым или прямым углом с наибольшейстороной c. Последовательность числа таких треугольников,начинающаяся с c = 1:

 0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48\ldots
 Разница между последними двумя последовательностями даёт числоцелочисленных треугольников с острыми углами (с точностью доконгруэнции) с наибольшей стороной c. Последовательность числаостроугольных треугольников, начиная с c = 1:

 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52\ldots

Площадь целочисленноготреугольника


 По формуле Герона, если T — площадь треугольника, а длинысторон равны a, b и c, то

4T=(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c).4T=(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c).
 Поскольку все множители под знаком корня в правой части формулы являютсяцелыми числами, все целочисленные треугольники должны иметьцелочисленное значение величины 16T2.

Углы целочисленноготреугольника


 По теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеетрациональный косинус.
 Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, тоодин из его углов должен быть 60°. Для целочисленных треугольниковоставшиеся углы должны также иметь рациональные косинусы и методгенерации таких треугольников приведён ниже. Однако, за исключениемтривиального случая равностороннего треугольника, не существуетцелочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую илигармоническую прогрессию. Это потому, что углы должны быть рациональнымиуглами вида с рациональными  0 \textless \textless 1. Но все углыцелочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы, а этоможет произойти только в случае, когда   =  , то есть целочисленныйтреугольник является равносторонним.

Деление сторонывысотой


 Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или еёпродолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональнойдлины.

ТреугольникиГерона


Общаяформула


 Геронов треугольник — это треугольник с целочисленными сторонами ицелочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет стороны,пропорциональные .
a=n(m2+k2)
a=n(m2+k2)
,
b=m(n2+k2)
b=m(n2+k2)
,
c=(m+n)(mnk2)
c=(m+n)(mnk2)
,

 Полупериметр =mn(m+n)=mn(m+n),
 Площадь=mnk(m+n)(mnk2)=mnk(m+n)(mnk2),
 для целых m, n и k, удовлетворяющих условиям
gcd(m,n,k)=1
gcd(m,n,k)=1
,
mn>k2m2n/(2m+n)
mn>k2m2n/(2m+n)

mn1
mn1
.
 Множитель пропорции для треугольников в общем случае являетсярациональным числом  pqpq , где  q=gcd(a,b,c)q=gcd(a,b,c)  сокращаетсгенерированный геронов треугольник к примитивному, а  pp  растягиваетэтот примитивный треугольник до требуемого размера.

Пифагоровытреугольники


 Пифагоров треугольник — это прямоугольный геронов треугольник и еготри стороны известны как пифагорова тройка. Все примитивные (неимеющие общего множителя) пифагоровы тройки (a,b,c)(a,b,c) с гипотенузойcc можно получить с помощью формул
a=m2n2
a=m2n2
,
b=2mn
b=2mn
,
c=m2+n2
c=m2+n2
,

 Полупериметр=m(m+n)=m(m+n),
 Площадь=mn(m2n2)=mn(m2n2),
 где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, приэтом m \textgreater n.

agraphПифагоровы треугольники с целой высотой, опирающейся нагипотенузу
 Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающуюся нагипотенузу, не выражается целым числом. Однако существуют непримитивныепифагоровы треугольники такого вида. Все пифагоровы треугольники скатетами a и b, гипотенузой c, и целой высотой dd,опущенной на гипотенузу, которые необходимо будут удовлетворятьравенствам a2+b2=c2a2+b2=c2 и1a2+1b2=1d21a2+1b2=1d2, генерируютсяформулами
a=(m2n2)(m2+n2)
a=(m2n2)(m2+n2)
,
b=2mn(m2+n2)
b=2mn(m2+n2)
,
c=(m2+n2)2
c=(m2+n2)2
,
d=2mn(m2n2)
d=2mn(m2n2)
,

 Полупериметр==m(m+n)(m2+n2)=m(m+n)(m2+n2),
 Площадь==mn(m2n2)(m2+n2)2=mn(m2n2)(m2+n2)2,
 для взаимно простых чисел m, n сm \textgreater n.
 Более того, из любого пифагорова треугольника с катетамиxy и гипотенузой z можно получить другойпифагоров треугольник с целой высотой d на гипотенузу c поформуле
(a,b,c,d)=(xz,yz,z2,xy).
(a,b,c,d)=(xz,yz,z2,xy).

Героновы треугольники со сторонами в арифметическойпрогрессии


 Треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеетстороны в арифметической прогрессии в том и только в том случае, когдастороны равны (bd, b, b + d), где
b=2(m2+3n2)/g
b=2(m2+3n2)/g
,
d=(m23n2)/g
d=(m23n2)/g
,
 и где g является наибольшим общим делителем чисел m23n2,m23n2,2mn2mn и m2+3n2.m2+3n2.

Героновы треугольники с одним углом вдвое большимдругого


 Все героновы треугольники с B=2A генерируются либо формулами
a=k2(s2+r2)24
a=k2(s2+r2)24
,
b=k2(s4r4)2
b=k2(s4r4)2
,
c=k2(3s410s2r2+3r4)4
c=k2(3s410s2r2+3r4)4
,

 Площадь=k2csr(s2r2)2=k2csr(s2r2)2,
 с целыми k, s, r, такими, чтоs2 \textgreater 3r2,либо формулами
a=q2(u2+v2)24
a=q2(u2+v2)24
,
b=q2uv(u2+v2)
b=q2uv(u2+v2)
,
c=q2(14u2v2u4v4)4
c=q2(14u2v2u4v4)4
,

 Площадь=q2cuv(v2u2)2=q2cuv(v2u2)2,
 с целыми q, u, v, такими, что v\textgreater u и v2 \textless(7+4√3)u2.
 Никакой геронов треугольник с B = 2A не являетсяравнобедренным или прямоугольным.

Равнобедренные героновытреугольники


 Все равнобедренные героновы треугольники получается умножением нарациональное число сторон
a=2(u2v2)
a=2(u2v2)
,
b=u2+v2
b=u2+v2
,
c=u2+v2
c=u2+v2
,
 для взаимно простых целых u и v сu\textgreaterv.

Героновы треугольники как гранитетраэдра


 Существуют тетраэдры, имеющие целочисленный объём и героновытреугольники в качестве граней. В качестве примера — тетраэдр с ребром896, противоположным ребром 190, а оставшиеся два ребра по 1073. Двеграни этого тетраэдра имеют площадь 436800, две другие — 47120, аобъём равен 62092800.

Свойства треугольниковГерона



  • Периметр геронова треугольника всегда является чётным числом . Таким образом, геронов треугольник имеет нечётное число сторон чётной длины и любой примитивный геронов треугольник имеет в точности одну чётную сторону.
  • Полупериметр s геронова треугольника со сторонами a, b и c не может быть простым числом. Это видно из того, что s(s-a)(s-b)(s-c) должен быть полным квадратом и в случае простоты s один из множителей должен делиться на s, но это невозможно, поскольку все стороны меньше s.
  • Площадь геронова треугольника всегда делится на 6.
  • Все высоты геронова треугольника являются рациональными числами. Это легко видеть из формулы площади треугольника. Поскольку геронов треугольник имеет целочисленные стороны и площадь, удвоенная площадь, делённая на основание, даст рациональное число. Некоторые героновы треугольники имеют три высоты, не являющиеся целыми числами, например, остроугольный треугольник (15, 34, 35) с площадью 252 и тупоугольный (5, 29, 30) с площадью 72. Любой геронов треугольник с одной или больше нецелочисленной высотой можно преобразовать в подобный геронов треугольник, умножив все стороны на наименьшее общее кратное знаменателей высот.
  • Героновы треугольники, не имеющие целочисленной высоты (неразложимые и не пифагоровы), имеют стороны, делящиеся на простые вида 4k+1. Однако разложимые героновы треугольники должны иметь две стороны, являющиеся гипотенузами пифагоровых треугольников. Отсюда — все героновы треугольники, не являющиеся пифагоровыми, имеют по меньшей мере две стороны, делящиеся на простые вида 4k+1. Наконец, все героновы треугольники имеют по меньшей мере одну сторону, делящуюся на простое число вида 4k+1.
  • Все отрезки перпендикуляров до другой стороны геронова треугольника являются рациональными числами — для любого треугольника они задаются формулами pa=2aTa2+b2c2,pa=2aTa2+b2c2, pb=2bTa2+b2c2,pb=2bTa2+b2c2, и pc=2cTa2b2+c2pc=2cTa2b2+c2, где стороны abc и площадь равна T, а в героновом треугольнике величины a, b, c и T являются целыми числами.
  • Не существует равносторонних героновых треугольников.
  • Не существует героновых треугольников со сторонами 1 или 2
  • Существует бесконечно много примитивных героновых треугольников со сторонами a при условии a \textgreater 2.
  • Не существует героновых треугольников со сторонами, образующими геометрическую прогрессию.
  • Если две стороны геронова треугольника имеют общий делитель, этот делитель должен быть суммой двух квадаратов.
  • Любой угол геронова треугольника имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади треугольника Площадь = (1/2)ab sin C, в которой площадь и стороны a и b являются целыми (и то же самое для других сторон).
  • Не существует героновых треугольников, у которых внутренние углы образуют арифметическую прогрессию. Это следует из того, что в случае арифметической прогессии углов один угол должен равняться 60°, а синус этого угла не рационален.
  • Любой квадрат, вписанный в геронов треугольник, имеет рациональные стороны — для любого треугольника вписанный квадрат на стороне длины a имеет стороны 2Taa2+2T2Taa2+2T, где T — площадь треугольника. В героновом треугольнике и T, и a являются целыми числами.
  • Любой геронов треугольник имеет рациональный радиус вписанной окружности — для любого треугольника этот радиус равен отношению площади к половине периметра, и обе эти величины в героновом треугольнике рациональны.
  • Любой геронов треугольник имеет рациональный радиус описанной окружности — в общем случае радиус равен одной четвёртой произведения сторон, делённой на площадь. В героновом треугольнике стороны и площадь являются целыми числами.

Целочисленные треугольники на двумернойрешётке


 Двумерная решётка — это правильный массив изолированных точек, вкоторой при выборе одной точки в качестве начала координат (0, 0) всеостальные точки будут иметь вид (x, y), где x и yпробегают по всем положительным и отрицательным целым числам.Треугольник на решётке — это любой треугольник, вершины которогоявляются точками решётки. По формуле Пика треугольник на решётке имеетрациональную площадь, которая либо является целым числом, либо имеет взнаменателе 2. Если треугольник на решётке имеет целые стороны, то онявляется героновым треугольником .
 Более того, было показано, что все героновы треугольники можнонарисовать на решётке . Следовательно, можно утверждать, чтоцелочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когдаего можно нарисовать на решётке.

Целочисленные треугольники со специфичными свойствамиуглов


Целочисленные треугольники с рациональнойбиссектрисой


 Семейство треугольников с целочисленными сторонами a,b,ca,b,c ирациональной биссектрисой dd угла A задаётся уравнениями
a=2(k2m2)
a=2(k2m2)
,
b=(km)2
b=(km)2
,
c=(k+m)2
c=(k+m)2
,
d=2km(k2m2)k2+m2
d=2km(k2m2)k2+m2
,
 с целыми k>m>0k>m>0.

Целочисленные треугольники с целыми n

-делителямивсехуглов
 Существуют треугольники, в которых три стороны и все три биссектрисыявляются целыми числами .
 Существуют треугольники, в которых три стороны и две трисектрисы каждогоугла являются целыми числами.
 Однако для n\textgreater3 не существует треугольников сцелочисленными сторонами, в котором (n–1) n-сектрискаждого угла являются целыми числами.

Целочисленные треугольники с одним углом, имеющимрациональныйкосинус


 Некоторые целочисленные треугольники с углом в вершине A, имеющимрациональный косинус h/k (h\textless0 или\textgreater0; k\textgreater0), задаются формулами
a=p22pqh+q2k2
a=p22pqh+q2k2
,
b=p2q2k2
b=p2q2k2
,
c=2qk(pqh)
c=2qk(pqh)
,
 где p и q являются взаимно простыми положительными целымичислами, для которых p\textgreaterqk.

agraphЦелочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметическойпрогрессии)
 У всех целочисленных треугольников с углом 60° углы образуютарифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны треугольникам
a=4mn
a=4mn
,
b=3m2+n2
b=3m2+n2
,
c=2mn+|3m2n2|
c=2mn+|3m2n2|
,
 со взаимно простыми целыми m, n и 1 ≤ n ≤ mили 3m ≤ n. Все примитивные решения можно получить,разделив a, b и c на наибольший общий делитель.
 Целочисленные треугольники с углом 60° можно получить по формулам
a=m2mn+n2
a=m2mn+n2
,
b=2mnn2
b=2mnn2
,
c=m2n2
c=m2n2
,
 со взаимно простыми целыми m, n и с0 \textless n \textless m (угол 60° противоположенстороне длиной a). Все примитивные решения можно получить,разделив a, b и c на наибольший общий делитель(например, равносторонние треугольники можно получить при m = 2 иn = 1, но это даёт a = b = c = 3, а это непримитивное решение). Смотрите также ,.
 Тройка Эйзенштейна — это набор целых чисел, которые являются сторонамитреугольника, и один из углов этого треугольника равен 60 градусам.

agraphЦелочисленные треугольники с одним углом120°
 Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью формул
a=m2+mn+n2
a=m2+mn+n2
,
b=2mn+n2
b=2mn+n2
,
c=m2n2

 со взаимно простыми целыми mn и0 \textless n \textless m (угол 120° противоположенстороне длиной a). Все примитивные решения можно получить,разделив a, b и c на наибольший общий делитель(например, при m = 4 и n = 1 получаем a = 21,b = 9 и c = 15, и это решение не примитивно, но из негоможно получить примитивное решение a = 7, b = 3 и c= 5, разделив на 3. Но это же решение можно получить, приняв m =2 и n = 1). Смотрите также ,.

Целочисленные треугольники с одним углом, равным другомууглу с любым рациональнымкоэффициентом


 Для положительных взаимно простых целых h и k треугольниксо сторонами, заданными формулами ниже, имеет углы hα,kα и π(h+k)α, а потому углы находятся в отношенииh : k, при этом стороны треугольника являются целыми числами:
a=qh+k1sinhαsinα=qk0ih12(1)i(h2i+1)ph2i1(q2p2)i,

b=qh+k1sinkαsinα=qh0ik12(1)i(k2i+1)pk2i1(q2p2)i,

c=qh+k1sin(h+k)αsinα=0ih+k12(1)i(h+k2i+1)ph+k2i1(q2p2)i,

 где α=cos1pq и p, q являютсявзаимно простыми числами, для которыхcosπh+k<pq<1.

agraphЦелочисленные треугольники с одним углом, вдвое большимдругого
 Для угла A, противоположного стороне a, и угла B, противоположногостороне b, некоторые треугольники с B=2A задаются формулами
a=n2
,
b=mn
,
c=m2n2

 с целыми m, n, такими, что0 \textless n \textless m \textless 2n.
 Заметим, что для всех треугольников с B = 2A (сцелочисленными сторонами или нет) выполняется a(a+c)=b2.

agraphЦелочисленные треугольники с одним углом, равным 3/2другого
 Класс эквивалентности подобных треугольников с  B=32Aзадаётся формулами
a=mn3
,
b=n2(m2n2)
,
c=(m2n2)2m2n2

 с целыми  m,n, такими, что $\ 0<\varphi n Заметим, что для всех треугольников с  B=32A (сцелочисленными сторонами или нет) выполняется (b2a2)(b2a2+bc)=a2c2.

agraphЦелочисленные треугольники с одним углом втрое большимдругого
 Мы можем получить все треугольники, удовлетворяющие соотношению угловB=3A, с помощью формул
a=n3
,
b=n(m2n2)
,
c=m(m22n2)
,
 где m и n являются целыми числами, для которых 2n<m<2n.
 Заметим, что для всех треугольников с B = 3A (с целочисленными сторонамиили нет) выполняется ac2=(ba)2(b+a).

Целочисленные треугольники с целым отношением радиусовописанного и вписанногоокружностей


 Условие для целочисленного треугольника иметь целочисленное отношениеN радиуса описанной окружности к радиусу вписанной известно втермнинах эллиптических кривых . Наименьший случай, равностороннийтреугольник, имеет N=2. Во всех известных случаях N ≡ 2(mod 8), то есть N–2 делится на 8.

Некоторые целочисленныетреугольники



  • Единственный треугольник с последовательными целыми числами в качестве сторон и площади имеет стороны (3,4,5) и площадь 6.
  • Единственный треугольник с последовательными целыми числами в качестве сторон и высоты имеет стороны (13,14,15) и высоту 12, опущенную на сторону длиной 14.
  • Треугольник (3,4,5) и кратные ему являются единственными прямоугольными треугольниками с целочисленными сторонами, у которых стороны образуют арифметическую прогрессию .
  • Треугольник (4,5,6) и кратные ему являются единственными треугольниками с целочисленными сторонами, у которых один угол вдвое больше другого и стороны образуют арифметическую прогрессию .
  • Треугольник (3,5,7) и кратные ему являются единственными треугольниками с целочисленными сторонами, имеющими угол 120°, и стороны образуют арифметическую прогрессию .
  • Единственный целочисленный треугольник с площадью, равной полупериметру имеет стороны (3,4,5).
  • Целочисленные треугольники с площадью, равной периметру, имеют только стороны (5, 12, 13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17). Из них только первых два прямоугольные.
  • Существуют целочисленные треугольники с тремя рациональными медианами. Самый маленький из них имеет стороны (68, 85, 87). Можно привести ещё (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) и (327, 386, 409).
  • Не существует равнобедренных пифагоровых треугольников.
  • Единственными примитивными пифагоровыми треугольниками, для которых квадрат периметра кратен площади, являются
    • 1) треугольник (3,4,5) с периметром 12, площадью 6 и отношением квадрата периметра к площади 24 — Египетский треугольник
    • 2) треугольник (5,12,13) с периметром 30, площадью 30 и отношением квадрата периметра к площади 30
    • 3) треугольник (9, 40, 41) с периметром 90, площадью 180 и отношением квадрата периметра к площади 45