Processing math: 100%

Пятиугольник Роббинса

Пятиугольник Роббинса — это вписанный пятиугольник, стороныкоторого и площадь являются рациональными числами.

История


 Бухгольц и МакДугал назвали пятиугольник именем Роббинса в честь ДэвидаРоббинса, давшего формулу для вписанного пятиугольника как функции длинсторон. Бухгольц и МакДугал выбрали это имя по аналогии с названиемтреугольника Герона именем Герона, открывателя формулы Герона дляплощади треугольника как функции от его сторон.

Площадь ипериметр


 Любой пятиугольник Роббинса можно привести, путём изменения размеров, кпятиугольнику, стороны и площадь которого являются целыми числами. Болеетого, Бухгольц и МакДугал показали, что если стороны являются целымичислами и площадь является рациональным числом, то площадь тоже будетцелым числом, а периметр будет чётным.

Диагонали


 Бухгольц и МакДугал также показали, что в любом пятиугольнике Роббинсалибо все пять внутренних диагоналей являются рациональными числами, либони одна из диагоналей рациональной не является. Если пять диагоналейрациональны (этот случай Састри назвал пятиугольникомБрахмагупты), то радиус его описанной окружности тоже должен бытьрациональным, и пятиугольник можно разложить на три треугольника Геронапо любым двум непересекающимся диагоналям или на пять треугольниковГерона разрезанием вдоль радиусов от центра к вершинам.
 Бухгольц и МакДугал провели компьютерный поиск пятиугольников Роббинса сиррациональными диагоналями, но безуспешно. На основе этого онипредположили, что пятиугольники Роббинса с иррациональными диагоналямине существуют.