Диофантова геометрия

Диофантова геометрия — подход к теории диофантовых уравнений,формулирующий задачи в терминах алгебраической геометрии надалгебраически незамкнутым базисным полем K, таким как полерациональных чисел или конечное поле, или, обобщённо, коммутативноекольцо, такое как кольцо целых чисел. Единичное уравнение определяетгиперповерхность, и, таким же образом, диофантово уравнение переходит валгебраическое многообразие V над K. Типичный вопрос оприроде множества V(K) точек на V с координатами вK — вопрос «размере» множества этих решений: существуют литакие точки вообще, конечно ли их число или бесконечно. Длягеометрического подхода соглашение об однородности уравнений иоднородности координат фундаментально. Решения в рациональных числахявляется основным соглашением.
 Одним из характерных результатов диофантовой геометрии является теоремаФальтингса, утверждающая о конечности множества рациональных точекалгебраической кривой C рода g \textgreater 1 надрациональными числами. Первым результатом диофантовой геометрии,вероятно, следует считать теорему Гильберта — Гурвица, разбирающуюслучай g = 0.

История


 В 1962 году Серж Ленг опубликовал книгу «Диофантова геометрия», вкоторой был в традиционном ключе изложен материал в диофантовыхуравнениях по степени и числу переменных. Книга Луиса Морделла«Диофантовы уравнения» (1969) начинается с замечания ободнородном уравнении f = 0 над рациональным полем, приписываемогоГауссу, что ненулевые целые решения существуют тогда и только тогда,когда существуют ненулевые рациональные решения, а также замечания овозражениях Линорда Диксона о параметрических решениях. РезультатыГильберта и Гурвица, полученные в 1890 году, ограничивающие диофантовугеометрию кривых 0-го рода степенями 1 и 2 (конические сечения) описан вглаве 17, там же сформулировано обобщение для кривых g\textgreater 1 (позднее известное как гипотеза Морделла, и ставшеетеоремой Фальтингса после доказательства утверждения). Теорема Зигеля оцелочисленных точках рассматривается в главе 28. Теорема Морделла —Вейля о конечном числе рациональных чисел на эллиптической кривойизложена в главе 16, и целых чисел на кривой Морделла — в главе 26.При этом Морделл негативно отзывался о геометрическом подходе,используемом Ленгом.
 Однако концепция Ленга с опорой на геометрическую интуицию позднееобрела популярность, и в 2006 году он был назван «провидцем».