Целочисленная решётка

n-Мерная целочисленная решётка (или кубическаярешётка), обозначается Zn, — эторешётка в евклидовом пространстве Rn,точки которой являются n-кортежами целых чисел. Двумернаяцелочисленная решётка называется также квадратной решёткой.Zn является наиболее простым примеромрешётки корней. Целочисленная решётка является нечётной унимодулярнойрешёткой.

Группаавтоморфизмов


 Группа автоморфизмов (или группа конгруэнции) целочисленной решёткисостоит из всех перестановок и сменой знаков координат и имеет порядок2n n!. Как , эта группа задаётсямножеством всех n×n знаковых матриц перестановок. Этагруппа изоморфна полупрямому произведению
 $$(\mathbb Z_2)^n \rtimes S_n$$, где симметрическая группаSn действует на(Z2)n путёмперестановки (является классическим примером ).
 Для квадратной решётки группа является группой квадратов или диэдральнойгруппой порядка 8. Для трёхмерной кубической решётки мы получаем группакубов, порядка 48.

Диофантовагеометрия


 При изучении диофантовой геометрии квадратная решётка точек с целымикоординатами часто называется диофантовой плоскостью. Вматематических терминах диофантова плоскость является прямымпроизведением $\scriptstyle\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ кольца всех целыхчисел $\scriptstyle\mathbb{Z}$. Изучение фокусируется на выборе узловдиофантовой плоскости, таких, что все попарные расстояния между точкамиявляются целыми.

Грубаягеометрия


 В целочисленная решётка грубо эквивалентна евклидову пространству.