Гипотеза Морделла

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода g>1. Выдвинута Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля Q на произвольное числовое поле. Была доказана Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

Формулировка


 Пусть C — неособая алгебраическая кривая рода g над полем Q. Тогда множество рациональных точек C следующее:

  • Случай g=0: рациональных точек нет, либо бесконечно много; C является коническим сечением.
  • Случай g=1: рациональных точек нет, либо C является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу.

 (Это теорема Морделла, позднее обобщённая до теоремы Морделла — Вейля). Более того теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.

  • Случай g>1: в соответствии с гипотезой Морделла, сейчас теоремой Фалгтинса, C имеет конечное число рациональных точек.

Доказательство


 Доказательство Фальтингса использует известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тэйта и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию Neron model. Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Пауло Войта. Более элементарный вариант доказательства Войта был дан Энрико Бомбьери.

Следствия


 Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

  • Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек;
  • Гипотезу Шафаревича
  • Теорему isogeny

 Сведение гипотезы Морделла к гипотезе Шафаревича было сделано Паршиным в 1971-м.
 Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного n>4 существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения an+bn=cn, для таких n кривая xn+yn=1 имеет род больший 1.

Обобщения


 В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой C с конечно порождённой подгруппой Γ абелева многообразия A. Заменяя C на произвольное подмногообразие A и Γ на произвольную подгруппу конечного ранга A, мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла-Ленга, которая была доказана.
 Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри - Ленга, утверждающая, что если X — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем k, то множество k-рациональных точек X(k) нигде не плотно в топологии Зарисского в X. Более общие гипотезы были выдвинуты потом Паулем Войта.
 Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963-м и Grauert-ом в 1965-м. Coleman в 1990 году нашел и исправил пробел в доказательстве Манина.