Уравнение xy=yx

 Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство xy=yx выполняется для некоторых пар (x,y), например, x=2,y=4.

История


 Уравнение xy=yx упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728). В письме говорится, что при xy пара (2,4) — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729) содержится общее решение уравнения, полученное заменой y=vx. Аналогичное решение дано Эйлером. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если r,n — положительные целые, r3 или n3, то rr+n>(r+n)r, таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи x=1 и x=2.
 Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на , что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля.

Решения в положительных действительных числах


 Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения x=y. Нетривиальные решения можно найти, положив xy, y=vx. Тогда

(vx)x=xvx=(xv)x.
  Возведение обеих сторон в степень 1x с последующим делением на x даёт

v=xv1.
  Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

x=v1v1,
y=vvv1.
  Нетривиальное решение в натуральных числах 42=24 можно получить, положив v=2 или v=12.