Processing math: 100%

Гипотеза Эрдёша Штрауса

Гипотеза Эрдёша — Штрауса — теоретико-числовая гипотеза,согласно которой для всех целых чисел n2 рациональное число4/n может быть представлено в виде суммы трёх аликвотных дробей(дробей с единицей в числителе), то есть существует три положительныхцелых числа x, y и z, таких что:

4n=1x+1y+1z.
 Сформулирована в 1948 году Палом Эрдёшом и .
 Перебором на компьютере проверено выполнение гипотезы для всех чиселвплоть до n1014, но доказательство для всех n остаётсяпо состоянию открытой проблемой.

Ограничения


 Целые x, y и z не обязательно должны быть различными, но если ониразличны, то образуют египетскую дробь представления числа 4/n.Например, для n=5 существует два решения:

45=12+14+120=12+15+110.
 Ограничение на положительность чисел x, y и z существенно,поскольку, если бы были разрешены отрицательные числа, задача стала бытривиальной. Также если n является составным n=pq, то решение для4/n можно найти немедленно из решений для 4/p или 4/q. По этойпричине наименьшее n в контрпримере, если таковой существует, должнобыть простым числом и должно быть сравнимо с членом одной из шестибесконечных арифметических прогрессий по модулю 840.
 При n4 не имеет значения, требуется ли, чтобы все три числаx, y и z отличались или нет — если существует решение длякаких-либо трёх целых x, y и z, то существует и решение сразличными значениями. Однако для случая n=2 существует единственноерешение 4/2=1/2+1/2+1/1 с точностью до перестановки членовсуммы.

История


 Поиск разложения рациональных чисел в суммы аликвотных дробей восходит кматематикам древнего Египта, где египетские дроби использовались дляобозначения дробных величин. Египтяне придумали таблицы, такие как ,содержащая разложения дробей вида 2/n, большинство из которыхсодержат два или три члена. Египетские дроби, обычно, содержатдополнительное ограничение, что все дроби должны быть различными, но длягипотезы Эрдёша — Штрауса это не имеет значения — если 4/nможно представить в виде не более трёх аликвотных дробей, это числоможно также представить в виде суммы не более трёх различных аликвотныхдробей.
 Жадный алгоритм для египетских дробей, описанный впервые в 1202 годуФибоначчи в его книге абака, находит разложение, в котором каждыйпоследующий член является наибольшей аликвотной дробью, не превосходящейостаток представления (исходную дробь, минус уже вычисленные члены). Длядробей вида 2/n или 3/n жадный алгоритм используетмаксимум два или три члена соответственно. Можно показать, что числовида 3/n имеет разложение на две дроби в том и только в томслучае, когда n имеет множитель, сравнимый с 2 по модулю 3, итребуется три дроби в остальных разложениях.
 Таким образом, для числителей 2 и 3 вопрос, сколько потребуется членов всумме египетской дроби, полностью решён, а дроби вида 4/nявляются первым случаем, для которого необходимое число членов суммыостаётся неизвестным. Жадный алгоритм даёт суммы из двух, трёх иличетырёх членов, в зависимости от значения n по модулю 4. Еслиn сравнимо с 1 по модулю 4, жадный алгоритм даёт разложение начетыре дроби. Таким образом, в худшем случае, разложение 4/nдолжно иметь три или четыре члена. Гипотеза Эрдёша — Штраусаутверждает, что в этом случае, как и для числителя 3, максимальноенеобходимое число членов разложения равно трём.

Сравнение помодулю


 Умножение обеих сторон равенства 4/n = 1/x + 1/y +1/z на nxyz приводит к равенству 4xyz =n(xy + xz + yz). Являясь алгебраическимуравнением с целыми переменными, уравнение служит примером диофантовауравнения. для диофантовых уравнений утверждает, что целочисленноерешение диофантова уравнения можно получить в виде комбинациицелочисленных решений по модулю всех возможных простых чисел. Принципмало что даёт для гипотезы Эрдёша — Штрауса, поскольку уравнение4xyz = n(xy + xz + yz) легкоразрешимо для любого сравнения по любому простому модулю. Тем не менее,модульная арифметика является важным средством для изучения гипотезы.
 Для значения n, удовлетворяющего некоторым сравнениям, можнонайти разложение для 4/n непосредственно из уравнения. Например,при n ≡ 2 (mod 3), 4/n имеет разложение

4n=1n+1(n2)/3+1+1n((n2)/3+1).
 Здесь каждый из трёх знаменателей n, (n − 2)/3 + 1 иn((n − 2)/3 + 1) является многочленом от n и каждыйбудет целым числом при n ≡ 2 (mod 3). Жадный алгоритм дляегипетских дробей находит решение из трёх или меньше членов, еслиn не равно 1 или 17 (mod 24), но случай n ≡ 17 (mod 24)покрывается случаем 2 (mod 3), так что единственный случай, для которогооба метода не дают разложения в три и менее членов, это случай n≡ 1 (mod 24).
 Если бы можно было найти решение как выше для другого модуля и тем самымобразовать полную покрывающую систему сравнений, задача была бы решена.Однако как показал Морделл, уравнения, обеспечивающие решение дляn, сравнимого с r по модулю p, могут существоватьтолько для r, не являющихся квадратичным вычетом по модулюp. Например, 2 не является квадратичным вычетом по модулю 3, такчто существование тождества для переменных n, сравнимых с 2 помодулю 3, не противоречит результату Морделла, а вот 1 являетсяквадратичным вычетом по модулю 3, так что не может существоватьаналогичного тождества для значений n, которые сравнимы с 1 помодулю 3.
 Морделл перечислил тождества, обеспечивающие разложение 4/n натри дроби для случаев n ≡ 2 (mod 3) (как выше), ≡ 3 (mod 4), ≡ 5(mod 8), ≡ 2 или 3 (mod 5), ≡ 3, 5, или 6 (mod 7). Эти тождестваперекрывают все случаи, при которых числа не являются квадратичнымивычетами по указанным базисам. Однако для больших базисов известны невсе неквадратичные вычеты, которые можно покрыть отношениями этого вида.Из тождеств Морделлы можно получить, что существуют решения для всехn, возможно, за исключением 1, 121, 169, 289, 361, или 529 помодулю 840. 1009 — это наименьшее простое число, которое непокрывается системой сравнений. Комбинируя тождества с большимимодулями, Уебб (Webb) (и другие) показал, что число дробей сознаменателем в интервале [1,N], которые могли бы служитьконтрпримером гипотезе, стремится к нулю при стремлении N кбесконечности.
 Вопреки результатам Морделлы, ограничивающим использование тождеств,есть некоторая надежда на использование модульной арифметики длядоказательства гипотезы. Никакое простое число не может быть квадратом,так что по теореме Хассе — Минковского, если p — простое, тосуществует большее простое q, такое что p не являетсяквадратичным вычетом по модулю q. Один из подходов кдоказательству теоремы — найти для каждого простого p большеепростое q и сравнение, решающее 4/n задачу для np (mod q). Если бы это удалось, было бы доказано, чтоникакое простое не будет контпримером, а потому гипотеза была быдоказана.

Вычислительнаяпроверка


 Различные авторы осуществляли прямой поиск контрпримера. Эти поискиможно сильно ускорить, если рассматривать только простые числа, которыене покрываются известными уравнениями сравнения по модулю. Поиски,совершённые Аланом Светтом (Allan Swett) привели к выводу, что гипотезаверна для всех n вплоть до 1014.

Числорешений


 Число различных решений задачи для 4/n, как функции от n,также было найдено компьютерным поиском для малых n и оказалось,что функция растёт несколько нерегулярно. Начиная с n = 3 числоразличных решений с различными знаменателями равно:

 1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, \ldots.
 Даже для больших n встречаются случаи с относительно небольшимчислом решений. Так, для n = 73 существует только семь решений.
 Эльсгольц и Тао показали, что среднее число решений задачи разложения4/n (усреднённое по числу простых чисел вплоть до n) отn. Для некоторых других диофантовых задач можно доказать, чторешение существует путём нахождения асимптотической числа решений, нодоказательство такого рода существует, в основном, для задач сполиномиальным ростом числа решений, так что результат Эльсгольца и Таоделают такую возможнось маловероятной. Доказательство Эльсгольца и Таограницы числа решений опирается на , теорему Бруна — Тичмарша, исистему модульных равенств, верных при n, сравнимом с −cили −1/c по модулю 4ab, где a и b — двавзаимно простых положительных целых числа, а c — любой нечётныймножитель a + b. Например, полагая a = b = 1получим одно из тождеств Морделла, верного при n ≡ 3(mod 4).

Решения в отрицательныхчислах


 Ограничение положительности x, y и z является существенным. Придопущении отрицательных чисел решение можно получить тривиальнопосредством следующих двух тождеств:

44k+1=1k1k(4k+1)
 и

44k1=1k+1k(4k1).
 Для нечётных n существует решение, содержащее три члена, один изкоторых отрицателен:

4n=1(n1)/2+1(n+1)/21n(n1)(n+1)/4.

Обобщения


 Обобщенная версия гипотезы гласит, что для любого положительногоk существует число N такое, что для любых nN существует решение в целых положительных числах уравненияk/n = 1/x + 1/y + 1/z. Версия этойгипотезы для k = 5 высказана Вацлавом Серпинским, а полная версиягипотезы принадлежит Анджею Шинцелю.
 Даже если обобщённая гипотеза неверна для некоторого значения k,число дробей для k/n с n в интервале от 1 доN, не имеющих разложение с тремя членами, должно расти сублинейнокак функция от N. В частности, если гипотеза Эрдёша — Штраусасама по себе (случай k = 4) неверна, то число контрпримероврастёт лишь сублинейно. Даже сильнее, для любого фиксированногоk, только сублинейное число значений n требует более чемдвух членов в разложении на египетскую дробь. Обобщённая версия гипотезыэквивалентна утверждению, что число неразложимых дробей не простосублинейно, а ограничено.
 Если n нечётно, то по аналогии с задачей египетские дроби, можноспросить о решениях k/n = 1/x + 1/y +1/z, в которых x, y и z являются различнымиположительными нечётными числами. Известно, что решения в этом случаевсегда существуют для k = 3.