Великая теорема Ферма

 Файл:Diophantus-II-8-Fermat.jpgминиИздание 1670 года«Арифметики» Диофанта включает комментарий Ферма, в частности его«последнюю теорему» (Observatio Domini Petri de Fermat)теоремматематики. Её условие формулируется просто, на «школьном»арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многиематематики более трёхсот лет. Доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Формулировка


 Теорема утверждает, что для любого натурального числа n>2 уравнение:

an+bn=cn
 не имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c.
 Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что этоуравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что еслисуществует решение для целых чисел, то существует и решение внатуральных числах. В самом деле, пусть a,b,c — целые числа,дающие решение уравнения Ферма. Если n чётно, то |a|,|b|,|c| тожебудут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательныхзначений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бысуществовало решение уравнения a3+b3=c3 и при этом aотрицательно, а прочие положительны, то b3=c3+(|a|)3, иполучаем натуральные решения c,|a|,b. Поэтому обе формулировкиэквивалентны.
 Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотезаЭйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.

История


 Для случая n=3 эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, ноего доказательство не сохранилось.
 В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году наполях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки наполях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшиена ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал сприпиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремыслишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги: Наоборот,невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата ивообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем жепоказателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но полякниги слишком узки для него.
 Ферма приводит только доказательство, как решение задачи, сводимой кчетвёртой степени теоремы n=4, в 45-м комментарии к «Арифметике»Диофанта и в письме к Каркави (август 1659 года). Кроме этого, Фермавключил случай n=3 в список задач, решаемых методом бесконечногоспуска.
 Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n=3, Дирихле и Лежандр в1825 — для n=5, Ламе — для n=7. Куммер показал, что теоремаверна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением такназываемых иррегулярных простых 37, 59, 67.
 Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихсяматематиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теоремастоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем неменее эти усилия привели к получению многих важных результатовсовременной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математическиепроблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, чтопоиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы, привёлк глубоким результатам в теории чисел. В 1908 году немецкий любительматематики Вольфскель завещал 100 тыс. немецких марок тому, кто докажеттеорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.
 В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезыМорделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнениеan+bn=cn при n>3 может иметь лишь конечное число взаимно простыхрешений.
 Немецкий математик предположил, что Великая теорема Ферма являетсяследствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано.
 Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом всентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликованов журнале «Annals of Mathematics».
 Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году(после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел,который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстроустранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. В 2016 годуза доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскуюпремию.
 Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастсяупростить, чтобы не предполагать существования так называемых «большихкардиналов».

Некоторые вариации иобобщения


 Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, чтоуравнение a4+b4+c4=d4 не имеет натуральных решений a,b,c,d.Только в наши дни, с помощью мощных компьютеров, удалось найтиконтрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году обнаружил следующеерешение:

26824404+153656394+187967604=206156734.
 Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:

958004+2175194+4145604=4224814.
 Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била,сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем,пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 млн долларов США.

«Ферматисты»


 Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании дажешкольнику), а также сложность единственного известного доказательства(или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найтидругое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказатьтеорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами»или «ферматиками». Ферматисты зачастую не владеют основамиматематической культуры и допускают ошибки в арифметических действияхили логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые«доказательства», в которых трудно найти ошибку.
 Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолькопопулярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теоремеФерма, сопроводил её следующей припиской: «Редакция „Кванта`` со своейстороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектамидоказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут.»
 Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобыне отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков сшаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторойстранице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелыв бланке он поручал своим аспирантам.
 Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих(неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает ихзначение до научной сенсации. Впрочем, иногда такие публикациипоявляются и в уважаемых научных изданиях, как правило, с последующимиопровержениями. Среди других примеров:

  • Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины``. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975).
  • Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году.
  • Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств.

Теорема Ферма в культуре иискусстве


 Файл:Czech stamp 2000 m259.jpgминиПочтовая маркаЧехии 2000 года ко Всемирному году математики, посвящённаятеоремеЗвёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар былозадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века.Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великойтеоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этимэпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом началесвоих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пятьлет.

  • В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» профессор Саймон Флегг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, производство Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).

  • В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая равенство 178212+184112=192212. Калькулятор с точностью не более 9 значащих цифр подтверждает это равенство:
      178212 + 184112 = 2541210258614589176288669958142428526657 ≈ 254121026,
      192212 = 2541210259314801410819278649643651567616 ≈ 254121026.


 Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, чторавенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть —чётное.

  • В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.
  • В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём» главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако, после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.
  • Мюзикл «Последнее танго Ферма», изданный институтом Клэя, создан в 2000 году и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать.
  • За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя Теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.
  • А. П. Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.