Гипотеза Ландера Паркина Селфриджа

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория


 Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения a2+b2=c2, связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней k>2 уравнение ak+bk=ck не имеет решения в натуральных числах a,b,c.
 В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение

i=1mxik=i=1nyik
  не имеет решения в натуральных числах, если km+n, за исключением тривиального случая, когда корни в левой части уравнения являются перестановкой корней в правой части уравнения. Такие уравнения можно обозначить тройками чисел (k,m,n).
 В 1966 году Леон Дж. Ландер и Томас Р. Паркин нашли для k=5 контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера:

275+845+1105+1335=1445.
  В последующие годы были найдены ещё несколько примеров для других k. Для k=4 наименьшее решение, найденное в 1988 году таково:

4145604+2175194+958004=4224814,
  Однако для k=6 гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза


 В 1967 году Ландер, Паркин и предположили, что уравнение

i=1mxik=i=1nyik
  может иметь нетривиальное решение в натуральных числах при k>3, только если km+n.
 Для случая (k,2,1),k>3 справедливость гипотезы вытекает из великой теоремы Ферма.
 Поиск решений уравнений (k,m,n) для больших степеней оказывается трудной задачей не только для k=m+n, но и для k<m+n. Поиском решений для различных (k,m,n) занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet и yoyo@home.
 == Известные решения для (k, m, n), k = m + n ==
 По состоянию известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:

(4, 2, 2)




1584+594=1344+1334, бесконечно много решений.

(4, 1, 3)




4224814=4145604+2175194+958004, бесконечно много решений.

(5, 1, 4)




1445=1335+1105+845+275, известно 2 решения.

(5, 2, 3)




141325+2205=140685+62375+50275, известно 1 решение.

(6, 3, 3)




236+156+106=226+196+36, известно 10 решений.

(8, 3, 5)




9668+5398+818=9548+7258+4818+3108+1588, известно 1 решение.

(8, 4, 4)




31138+20128+19538+8618=28238+27678+25578+11288, известно 1 решение.

Некоторые решения для (k

, \emphk, 1)
 ===k = 4===


304+1204+2724+3154=3534

 ===k = 5===


195+435+465+475+675=725

 ===k = 6===


  Решения неизвестны.

 ===k = 7===


1277+2587+2667+4137+4307+4397+5257=5687

 ===k = 8===


908+2238+4788+5248+7488+10888+11908+13248=14098

k

≥ 9


  Решения неизвестны.