Теорема Лежандра

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.

Формулировка


 Уравнение
aX2+bY2+cZ2=0,
у которого не все коэффициенты одного знака и a,b,c — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах (X,Y,Z) тогда и только тогда, когда:

  • ab — квадратичный вычет по модулю c,
  • bc — квадратичный вычет по модулю a,
  • ca — квадратичный вычет по модулю b.

О доказательстве


 Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в Q тогда и только тогда, когда она представляет нуль в R и во всех полях p-адических чисел Qp. Для разрешимости в R нужны разные знаки, для разрешимости в Qp для pabc — вышеприведённые симметричные соотношения.