Уравнение Пелля

 В математике, уравнение Пелля — диофантово уравнение вида

x2ny2=1,
  где n — натуральное число, не являющееся квадратом.

Простейшие свойства



  • Пары (±1,0) всегда являются решениями, называемыми тривиальными.
  • Ввиду симметрии, достаточно найти все решения с положительными x и y.
  • Если n является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на параметр n.

Эквивалентные формулировки и связь с теорией полей


 Пара (x,y) является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа x+yn в расширении \Q(n) поля \Q равна единице:

N(x+yn)=(x+yn)(xyn)=x2ny2.
  В частности, решению соответствует единица кольца Z[n]. Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям (x1,y1) и (x2,y2) можно поставить в соответствие решения

(x1x2+ny1y2,x1y2+y1x2),(x1x2ny1y2,x1y2+y1x2).
  Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения \Q(n) равен 1).

Связь с цепными дробями


 Несложно видеть, что при больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение x/y должно быть близким к n. Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для n, и имеет место следующий критерий: Числитель и знаменатель подходящей дроби для n являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с 1 по модулю P, где P — период цепной дроби для n.

История


 Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика XII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю.