Совершенный кубоид

Совершенный кубоид (или целочисленный кирпич) —прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (триребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являютсяцелыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — целочисленноерешение системы диофантовых уравнений

a2+b2=d2
b2+c2=e2
a2+c2=f2
a2+b2+c2=g2
 До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерныйперебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до3·1012. Впрочем, найдено несколько «почтицелочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются всевеличины, кроме одной:

  • (672,153,104) — одна из лицевых диагоналей нецелая.
  • (18720,211773121,7800), (520,576,618849) — одно из рёбер нецелое.
  • Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
  • Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла.

 С сентября 2017 года поиском совершенного кубоида начал заниматьсяпроект распределённых вычислений yoyo@Homehttp://www.rechenkraft.net/yoyo/
Рациональный кубоид — это почти то же самое, что исовершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственнаядиагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоидлегко превращается в целочисленный путём умножения всех его линейныхразмеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рациональногокубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида.

Эйлеровпараллелепипед


 Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра илицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровыхпараллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

  • (275, 252, 240),
  • (693, 480, 140),
  • (720, 132, 85),
  • (792, 231, 160).

 Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название).Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов такженет.
 Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и кцелочисленному кирпичу):

  • Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b, c)=1).
  • Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
  • Одно ребро делится на 5.
  • Одно ребро делится на 11.