Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:
x3+y3+z3=w3.

 Полное решение уравнений x3+y3+z3=w3 и x3+y3=z3+w3 в целых числах, а также в натуральных числах, получено в статье индийского математика Ajai Choudhry (см. список литературы).

Общее целочисленное решение


 Теорема (Ajai Choudhry, 1998). Полное целочисленное решение уравнения
x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1
 даётся формулами
dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,
dx2={a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4(ab)c3},
dx3=c(a3+b3+c3),
dx4={(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},
 где числа a,b,c произвольные целые, а число d0 выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие (x1,x2,x3,x4)=1.
 Замечание: запись (x1,x2,x3,x4)=1 означает, что числа x1,x2,x3,x4 попарно взаимно просты.
 Схема доказательства (обозначения, используемые ниже, немного отличаются от используемых в статье Ajai Choudhry для достижения большей ясности изложения).
 1. Для произвольных целых чисел a,b,c введём обозначения:
f1(θ)=(a+b)θ+1;
f2(θ)=aθb;
f3(θ)=cθ;
f4(θ)=c;
g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);
Δ(θ)=θ2+θ+1.
 2. Непосредственно проверяем, что многочлен g(θ) делится на многочлен Δ(θ). Очевидно, что многочлен Δ(θ) не имеет действительных корней.
 3. Следовательно, единственным действительным корнем многочлена g(θ) является число
θ0=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3.
 Ясно, что этот корень всегда существует, так как по Великой теореме Ферма знаменатель дроби не обращается в нуль.
 4. Заметим, что равенство g(θ0)=0 совпадает с исходным уравнением, коль скоро мы полагаем xi=fi(θ0). Автор предлагает читателю подставить θ=θ0 в выражения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ) и непосредственно проверить, что с точностью до множителя d полученные значения для x1,x2,x3,x4 совпадают с соответствующими выражениями для x1,x2,x3,x4 из условия теоремы. То есть значения dx1,dx2,dx3,dx4, полученные по формулам из п.1 для любых целых a,b,c,d, - корни исходного уравнения. Таким образом, доказана достаточность теоремы.
 Интересна следующая деталь: вместо того, чтобы сослаться на ВТФ и проигнорировать случай, когда a3+(a+b)3+c3=0, автор оговаривает лишь, что полученные параметрические выражения для x1,x2,x3,x4 задают корни уравнения даже в том случае, когда a3+(a+b)3+c3=0.
 5. Итак, в теореме осталось доказать необходимость. Дано произвольное ненулевое решение x1,x2,x3,x4 исходного уравнения; все xi попарно взаимно просты. Без ограничения общности мы можем считать, что
x30,x40,x1x3.
 Полагаем
a=x2x3x1x4;
b=x1x3x2x3+x2x4;
c=x23x3x4+x24.
 Обозначения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ) сохраняем прежними.
 6. Замечаем, что
g(x3x4)=(x31+...+x34)cx4=0.
 Делаем вывод, что число θ1=x3x4 является корнем уравнения g(θ)=0.
 7. Но единственный корень уравнения g(θ)=0, как было показано в п.3, - это число θ0, поэтому θ1=θ0:
x3x4=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3,
 откуда b3+c3a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=k
 (k - некоторое рациональное число).
 8. Число k существует, так как по нашему предположения (см. п.5) выполняются условия x30 и x40.
 9. Так как x31+x32+x33+x34=0, то можно непосредственно проверить (если в любую из дробей, определяющих число k, вместо a,b,c подставить их выражения через x1,x2,x3,x4), что число k целое.
 10. Далее автор предлагает читателю непосредственно проверить, используя наше предположение x1x3 (см. п.5), что
(a3+(a+b)3+c3)fi(θ1)=kcxi,1i4.
 11. После введения обозначения d=kc (так как k целое, то d тоже целое) окончательно получаем следующие формулы (в статье имеются чуть более подробные выкладки):
dxi=x4fi(x3x4)x23x3x4+x24,1i4.
 Легко видеть, что полученные выражения для dx1,dx2,dx3,dx4 совпадают с соответствующими выражениями для dx1,dx2,dx3,dx4 из условия теоремы.
 Таким образом, необходимость доказана, и доказательство теоремы завершено.

Примеры целочисленных решений


 Наименьшие натуральные решения:


33+43+53=63
13+63+83=93
33+103+183=193
73+143+173=203
43+173+223=253
183+193+213=283
113+153+273=293
23+173+403=413
63+323+333=413
163+233+413=443

 Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:


13+93+103=123
23+93+153=163
23+153+333=343
23+413+863=893
33+223+593=603

Полные рациональные параметризации




Г. Харди и Райт (1938) 
  *
x=a(b3c)(b2+3c2)+a4

 *
y=a(b+3c)(b2+3c2)a4

 *
z=a3(b3c)(b2+3c2)2

 *
w=a3(b+3c)(b2+3c2)2



Н. Элкиес  \{begin\{cases\}
  x = d(-(s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t - s\^3 + rs\^2 - 2r\^2s - r\^3), \{\{ y = d(t\^3 - (s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t + rs\^2 - 2r\^2s + r\^3), \{\{ z = d(-t\^3 + (s+r)t\^2 - (s\^2+2r\^2) t + 2rs\^2 - r\^2s + 2r\^3), \{\{ w = d((s-2r)t\^2 + (r\^2-s\^2) t + s\^3 - rs\^2 + 2r\^2s - 2r\^3) \{end\{cases\}


Г. Александров (рекуррентные формулы)  \{begin\{cases\}
  x = x\_0(x\_0+y\_0)a\^2+(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-y\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ y = y\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-x\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ z = z\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+w\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ w = w\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+z\_0(w\_0-z\_0)b\^2 \{end\{cases\}

Другие серии решений


 Начало частным сериям решений положил величайший мировой математик Леонард Эйлер и считал задачу о четырех кубах одной из важных в теории чисел http://math4school.ru/euler.html


Эйлер, 1740 г. 
  *
x=1(a3b)(a2+3b2)

 *
y=1+(a+3b)(a2+3b2)

 *
z=a3b+(a2+3b2)2

 *
w=a+3b+(a2+3b2)2



Линник, 1940 г. 
  *
x=b(a6b6)

 *
y=a(a6b6)

 *
z=b(2a6+3a3b3+b6)

 *
w=a(a6+3a3b3+2b6)

 *
x=a2(b67)+9ac3c2

 *
y=a2[b3(2b3+9)+7]3ac(2b3+3)+3c2

 *
z=a2b[b3(b3+3)+2]3abc(b3+2)+3bc2

 *
w=a2b[b3(b3+6)+11]3abc(b3+4)+3bc2

 *
x=3a2(b67)9acc2

 *
y=3a2[b3(2b39)+7]3ac(2b33)+c2

 *
z=3a2b[b3(b36)+11]3abc(b34)+bc2

 *
w=3a2b[b3(b33)+2]3abc(b32)+bc2



Roger Heath-Brown1, 1993 г. 
  *
x=9a4

 *
y=3a9a4

 *
z=19a3

 *
w=1



Морделл, 1956 г. 
  *
x=9a3b+b4

 *
y=9a4

 *
z=b4

 *
w=9a4+3ab3

 *
x=9a3bb4

 *
y=9a43ab3

 *
z=b4

 *
w=9a4

 *
x=9a3b+b4

 *
y=9a3bb4

 *
z=9a43ab3

 *
w=9a4+3ab3



Решение, полученное методом алгебраической геометрии (:en:Fermat cubic) 
  *;x=3a(a2+ab+b2)9
 *;y=(a2+ab+b2)29a
 *;z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9
 *;w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)


Рамануджан 
  *
x=3a2+5ab5b2

 *
y=4a24ab+6b2

 *
z=5a25ab3b2

 *
w=6a24ab+4b2

 *
x=a73a4(1+b)+a(2+6b+3b2)

 *
y=2a63a3(1+2b)+1+3b+3b2

 *
z=a613b3b2

 *
w=a73a4b+a(3b21)

 *
x=a2+9ab+b2

 *
y=a2+7ab9b2

 *
z=2a24ab+12b2

 *
w=2a2+10b2



Неизвестный автор, 1825 г. 
  *
x=a936

 *
y=a9+35a3+36

 *
z=33a6+35a3

 *
w=32a7+34a4+36a



Д. Лемер, 1955 г. 
  *
x=3888a10135a4

 *
y=3888a101296a781a4+3a

 *
z=3888a9+648a69a3+1

 *
w=1



В. Б. Лабковский 
  *
x=4b211b21

 *
y=3b2+11b28

 *
z=5b27b+42

 *
w=6b27b+35



Харди и Райт 
  *
x=a(a32b3)

 *
y=b(2a3b3)

 *
z=b(a3+b3)

 *
w=a(a3+b3)

 *
x=a(a3b3)

 *
y=b(a3b3)

 *
z=b(2a3+b3)

 *
w=a(a3+2b3)



Г. Александров, 1972 г. 
  *
x=7a2+17ab6b2

 *
y=42a217abb2

 *
z=56a235ab+9b2

 *
w=63a235ab+8b2

 *
x=7a2+17ab17b2

 *
y=17a217ab7b2

 *
z=14a220ab+20b2

 *
w=20a220ab+14b2

 *
x=21a2+23ab19b2

 *
y=19a223ab21b2

 *
z=18a2+4ab+28b2

 *
w=28a2+4ab+18b2

 *
x=3a2+41ab37b2

 *
y=37a241ab3b2

 *
z=36a268ab+46b2

 *
w=46a268ab+36b2

 *
x=4a2+22ab9b2

 *
y=36a222ab+b2

 *
z=40a240ab+12b2

 *
w=48a240ab+10b2



Коровьев, 2012 г. 
  *
x=(2a22abb2)cd3(a2ab+b2)2c4

 *
y=(2a22abb2)c3d+(a2ab+b2)2d4

 *
z=(a2+2ab2b2)c3d(a2ab+b2)2d4

 *
w=(a2+2ab2b2)cd3(a2ab+b2)2c4

 где a, b,c и d — любые целые числа.