xy=yx

Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всехцелочисленных решений диофантова уравнения:
x3+y3+z3=w3.
x3+y3+z3=w3.

 Полное решение уравнений x3+y3+z3=w3x3+y3+z3=w3 и x3+y3=z3+w3x3+y3=z3+w3 в целыхчислах, а также в натуральных числах, получено в статье индийскогоматематика Ajai Choudhry (см. список литературы).

Общее целочисленноерешение


 Теорема (Ajai Choudhry, 1998). Полное целочисленное решение уравнения
x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1
 даётся формулами
dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,
dx2={a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4(ab)c3},dx2={a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4(ab)c3},
dx3=c(a3+b3+c3),dx3=c(a3+b3+c3),
dx4={(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},dx4={(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},
 где числа a,b,ca,b,c произвольные целые, а число d0d0 выбрано такимобразом, чтобы выполнялось условие (x1,x2,x3,x4)=1(x1,x2,x3,x4)=1.
 Замечание: запись (x1,x2,x3,x4)=1(x1,x2,x3,x4)=1 означает, что числаx1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 попарно взаимно просты.
 Схема доказательства (обозначения, используемые ниже, немного отличаютсяот используемых в статье Ajai Choudhry для достижения большей ясностиизложения).
 1. Для произвольных целых чисел a,b,ca,b,c введём обозначения:
f1(θ)=(a+b)θ+1;f1(θ)=(a+b)θ+1;
f2(θ)=aθb;f2(θ)=aθb;
f3(θ)=cθ;f3(θ)=cθ;
f4(θ)=c;f4(θ)=c;
g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);
Δ(θ)=θ2+θ+1.Δ(θ)=θ2+θ+1.
 2. Непосредственно проверяем, что многочлен g(θ)g(θ) делится намногочлен Δ(θ)Δ(θ). Очевидно, что многочлен Δ(θ)Δ(θ) неимеет действительных корней.
 3. Следовательно, единственным действительным корнем многочленаg(θ)g(θ) является число
θ0=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3.θ0=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3.
 Ясно, что этот корень всегда существует, так как по Великой теоремеФерма знаменатель дроби не обращается в нуль.
 4. Заметим, что равенство g(θ0)=0 совпадает с исходнымуравнением, коль скоро мы полагаем xi=fi(θ0). Автор предлагаетчитателю подставить θ=θ0 в выражения дляf1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ) и непосредственнопроверить, что с точностью до множителя d полученные значения дляx1,x2,x3,x4 совпадают с соответствующими выражениями дляx1,x2,x3,x4 из условия теоремы. То есть значенияdx1,dx2,dx3,dx4, полученные по формулам из п.1 для любых целыхa,b,c,d, - корни исходного уравнения. Таким образом, доказанадостаточность теоремы.
 Интересна следующая деталь: вместо того, чтобы сослаться на ВТФ ипроигнорировать случай, когда a3+(a+b)3+c3=0, автор оговариваетлишь, что полученные параметрические выражения для x1,x2,x3,x4задают корни уравнения даже в том случае, когда a3+(a+b)3+c3=0.
 5. Итак, в теореме осталось доказать необходимость. Дано произвольноененулевое решение x1,x2,x3,x4 исходного уравнения; все xiпопарно взаимно просты. Без ограничения общности мы можем считать, что
x30,x40,x1x3.
 Полагаем
a=x2x3x1x4;
b=x1x3x2x3+x2x4;
c=x23x3x4+x24.
 Обозначения дляf1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ) сохраняемпрежними.
 6. Замечаем, что
g(x3x4)=(x31+...+x34)cx4=0.
 Делаем вывод, что число θ1=x3x4 является корнемуравнения g(θ)=0.
 7. Но единственный корень уравнения g(θ)=0, как было показано вп.3, - это число θ0, поэтому θ1=θ0:
x3x4=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3,
 откуда b3+c3a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=k
 (k - некоторое рациональное число).
 8. Число k существует, так как по нашему предположения (см. п.5)выполняются условия x30 и x40.
 9. Так как x31+x32+x33+x34=0, то можно непосредственнопроверить (если в любую из дробей, определяющих число k, вместоa,b,c подставить их выражения через x1,x2,x3,x4), что число kцелое.
 10. Далее автор предлагает читателю непосредственно проверить, используянаше предположение x1x3 (см. п.5), что
(a3+(a+b)3+c3)fi(θ1)=kcxi,1i4.
 11. После введения обозначения d=kc (так как k целое, то d тожецелое) окончательно получаем следующие формулы (в статье имеются чутьболее подробные выкладки):
dxi=x4fi(x3x4)x23x3x4+x24,1i4.
 Легко видеть, что полученные выражения для dx1,dx2,dx3,dx4совпадают с соответствующими выражениями для dx1,dx2,dx3,dx4 изусловия теоремы.
 Таким образом, необходимость доказана, и доказательство теоремызавершено.

Примеры целочисленныхрешений


 Наименьшие натуральные решения:


33+43+53=63
13+63+83=93
33+103+183=193
73+143+173=203
43+173+223=253
183+193+213=283
113+153+273=293
23+173+403=413
63+323+333=413
163+233+413=443

 Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:


13+93+103=123
23+93+153=163
23+153+333=343
23+413+863=893
33+223+593=603

Полные рациональныепараметризации




Г. Харди и Райт (1938) 
 *x=a(b3c)(b2+3c2)+a4

 *y=a(b+3c)(b2+3c2)a4

 *z=a3(b3c)(b2+3c2)2

 *w=a3(b+3c)(b2+3c2)2



Н. Элкиес \{begin\{cases\}
 x = d(-(s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t - s\^3 + rs\^2 - 2r\^2s -r\^3), \{\{ y = d(t\^3 - (s+r)t\^2 +(s\^2+2r\^2) t + rs\^2 - 2r\^2s + r\^3),\{\{ z = d(-t\^3 + (s+r)t\^2 -(s\^2+2r\^2) t + 2rs\^2 - r\^2s + 2r\^3),\{\{ w = d((s-2r)t\^2 + (r\^2-s\^2) t+ s\^3 - rs\^2 + 2r\^2s - 2r\^3) \{end\{cases\}


Г. Александров (рекуррентные формулы) \{begin\{cases\}
 x = x\_0(x\_0+y\_0)a\^2+(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-y\_0(w\_0-z\_0)b\^2,\{\{ y =y\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-x\_0(w\_0-z\_0)b\^2,\{\{ z =z\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+w\_0(w\_0-z\_0)b\^2,\{\{ w =w\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+z\_0(w\_0-z\_0)b\^2\{end\{cases\}

Другие сериирешений


 Начало частным сериям решений положил величайший мировой математикЛеонард Эйлер и считал задачу о четырех кубах одной из важных в теориичисел http://math4school.ru/euler.html


Эйлер, 1740 г. 
 *x=1(a3b)(a2+3b2)

 *y=1+(a+3b)(a2+3b2)

 *z=a3b+(a2+3b2)2

 *w=a+3b+(a2+3b2)2



Линник, 1940 г. 
 *x=b(a6b6)

 *y=a(a6b6)

 *z=b(2a6+3a3b3+b6)

 *w=a(a6+3a3b3+2b6)

 *x=a2(b67)+9ac3c2

 *y=a2[b3(2b3+9)+7]3ac(2b3+3)+3c2

 *z=a2b[b3(b3+3)+2]3abc(b3+2)+3bc2

 *w=a2b[b3(b3+6)+11]3abc(b3+4)+3bc2

 *x=3a2(b67)9acc2

 *y=3a2[b3(2b39)+7]3ac(2b33)+c2

 *z=3a2b[b3(b36)+11]3abc(b34)+bc2

 *w=3a2b[b3(b33)+2]3abc(b32)+bc2



Roger Heath-Brown1,1993 г. 
 *x=9a4

 *y=3a9a4

 *z=19a3

 *w=1



Морделл, 1956 г. 
 *x=9a3b+b4

 *y=9a4

 *z=b4

 *w=9a4+3ab3

 *x=9a3bb4

 *y=9a43ab3

 *z=b4

 *w=9a4

 *x=9a3b+b4

 *y=9a3bb4

 *z=9a43ab3

 *w=9a4+3ab3



Решение, полученное методом алгебраической геометрии (:en:Fermatcubic) 
 *;x=3a(a2+ab+b2)9
 *;y=(a2+ab+b2)29a
 *;z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9
 *;w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)


Рамануджан 
 *x=3a2+5ab5b2

 *y=4a24ab+6b2

 *z=5a25ab3b2

 *w=6a24ab+4b2

 *x=a73a4(1+b)+a(2+6b+3b2)

 *y=2a63a3(1+2b)+1+3b+3b2

 *z=a613b3b2

 *w=a73a4b+a(3b21)

 *x=a2+9ab+b2

 *y=a2+7ab9b2

 *z=2a24ab+12b2

 *w=2a2+10b2



Неизвестный автор, 1825 г. 
 *x=a936

 *y=a9+35a3+36

 *z=33a6+35a3

 *w=32a7+34a4+36a



Д. Лемер, 1955 г. 
 *x=3888a10135a4

 *y=3888a101296a781a4+3a

 *z=3888a9+648a69a3+1

 *w=1



В. Б. Лабковский 
 *x=4b211b21

 *y=3b2+11b28

 *z=5b27b+42

 *w=6b27b+35



Харди и Райт 
 *x=a(a32b3)

 *y=b(2a3b3)

 *z=b(a3+b3)

 *w=a(a3+b3)

 *x=a(a3b3)

 *y=b(a3b3)

 *z=b(2a3+b3)

 *w=a(a3+2b3)



Г. Александров, 1972 г. 
 *x=7a2+17ab6b2

 *y=42a217abb2

 *z=56a235ab+9b2

 *w=63a235ab+8b2

 *x=7a2+17ab17b2

 *y=17a217ab7b2

 *z=14a220ab+20b2

 *w=20a220ab+14b2

 *x=21a2+23ab19b2

 *y=19a223ab21b2

 *z=18a2+4ab+28b2

 *w=28a2+4ab+18b2

 *x=3a2+41ab37b2

 *y=37a241ab3b2

 *z=36a268ab+46b2

 *w=46a268ab+36b2

 *x=4a2+22ab9b2

 *y=36a222ab+b2

 *z=40a240ab+12b2

 *w=48a240ab+10b2



Коровьев, 2012 г. 
 *x=(2a22abb2)cd3(a2ab+b2)2c4

 *y=(2a22abb2)c3d+(a2ab+b2)2d4

 *z=(a2+2ab2b2)c3d(a2ab+b2)2d4

 *w=(a2+2ab2b2)cd3(a2ab+b2)2c4

 где a, b,c и d — любые целые числа.