- Теория чисел
- Диофантовы уравнения
- ........................
Задача о четырёх кубах
Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех
целочисленных решений диофантова уравнения:
x3+y3+z3=w3.x3+y3+z3=w3.
Полное решение уравнений x3+y3+z3=w3x3+y3+z3=w3 и x3+y3=z3+w3x3+y3=z3+w3 в целых
числах, а также в натуральных числах, получено в статье индийского
математика Ajai Choudhry (см. список литературы).
Теорема (Ajai Choudhry, 1998). Полное целочисленное решение уравнения
x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1
даётся формулами
dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,
dx2=−{a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4−(a−b)c3},dx2=−{a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4−(a−b)c3},
dx3=c(−a3+b3+c3),dx3=c(−a3+b3+c3),
dx4=−{(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},dx4=−{(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},
где числа a,b,c−a,b,c− произвольные целые, а число d≠0d≠0 выбрано таким
образом, чтобы выполнялось условие (x1,x2,x3,x4)=1(x1,x2,x3,x4)=1 .
Замечание: запись (x1,x2,x3,x4)=1(x1,x2,x3,x4)=1 означает, что числа
x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 попарно взаимно просты.
Схема доказательства (обозначения, используемые ниже, немного отличаются от используемых в статье Ajai Choudhry для достижения большей ясности изложения).
1. Для произвольных целых чисел a,b,ca,b,c введём обозначения:
f1(θ)=(a+b)θ+1;f1(θ)=(a+b)θ+1;
f2(θ)=aθ−b;f2(θ)=aθ−b;
f3(θ)=cθ;f3(θ)=cθ;
f4(θ)=−c;f4(θ)=−c;
g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);
Δ(θ)=θ2+θ+1.Δ(θ)=θ2+θ+1.
2. Непосредственно проверяем, что многочлен g(θ)g(θ) делится на
многочлен Δ(θ)Δ(θ) . Очевидно, что многочлен Δ(θ)Δ(θ) не
имеет действительных корней.
3. Следовательно, единственным действительным корнем многочлена g(θ)g(θ) является число
θ0=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3.θ0=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3.
Ясно, что этот корень всегда существует, так как по Великой теореме Ферма знаменатель дроби не обращается в нуль.
4. Заметим, что равенство g(θ0)=0g(θ0)=0 совпадает с исходным
уравнением, коль скоро мы полагаем xi=fi(θ0)xi=fi(θ0) . Автор предлагает
читателю подставить θ=θ0θ=θ0 в выражения для
f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ)f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ) и непосредственно
проверить, что с точностью до множителя dd полученные значения для
x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 совпадают с соответствующими выражениями для
x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 из условия теоремы. То есть значения
dx1,dx2,dx3,dx4dx1,dx2,dx3,dx4 , полученные по формулам из п.1 для любых целых
a,b,c,da,b,c,d , - корни исходного уравнения. Таким образом, доказана
достаточность теоремы.
Интересна следующая деталь: вместо того, чтобы сослаться на ВТФ и проигнорировать случай, когда a3+(a+b)3+c3=0a3+(a+b)3+c3=0 , автор оговаривает
лишь, что полученные параметрические выражения для x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4
задают корни уравнения даже в том случае, когда a3+(a+b)3+c3=0a3+(a+b)3+c3=0 .
5. Итак, в теореме осталось доказать необходимость. Дано произвольное ненулевое решение x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 исходного уравнения; все xixi
попарно взаимно просты. Без ограничения общности мы можем считать, что
x3≠0,x4≠0,x1≠−x3.x3≠0,x4≠0,x1≠−x3.
Полагаем
a=x2x3−x1x4;a=x2x3−x1x4;
b=x1x3−x2x3+x2x4;b=x1x3−x2x3+x2x4;
c=x23−x3x4+x24.c=x23−x3x4+x24.
Обозначения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ)f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ) сохраняем
прежними.
6. Замечаем, что
g(−x3x4)=−(x31+...+x34)⋅cx4=0.g(−x3x4)=−(x31+...+x34)⋅cx4=0.
Делаем вывод, что число θ1=−x3x4θ1=−x3x4 является корнем
уравнения g(θ)=0g(θ)=0 .
7. Но единственный корень уравнения g(θ)=0g(θ)=0 , как было показано в
п.3, - это число θ0θ0 , поэтому θ1=θ0θ1=θ0 :
−x3x4=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3,−x3x4=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3,
откуда b3+c3−a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=kb3+c3−a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=k
(kk - некоторое рациональное число).
8. Число kk существует, так как по нашему предположения (см. п.5)
выполняются условия x3≠0x3≠0 и x4≠0x4≠0 .
9. Так как x31+x32+x33+x34=0x31+x32+x33+x34=0 , то можно непосредственно
проверить (если в любую из дробей, определяющих число kk , вместо
a,b,ca,b,c подставить их выражения через x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 ), что число kk
целое.
10. Далее автор предлагает читателю непосредственно проверить, используя наше предположение x1≠−x3x1≠−x3 (см. п.5), что
(a3+(a+b)3+c3)⋅fi(θ1)=kcxi,1≤i≤4.(a3+(a+b)3+c3)⋅fi(θ1)=kcxi,1≤i≤4.
11. После введения обозначения d=kcd=kc (так как kk целое, то dd тоже
целое) окончательно получаем следующие формулы (в статье имеются чуть
более подробные выкладки):
d⋅xi=−x4⋅fi(−x3x4)x23−x3x4+x24,1≤i≤4.d⋅xi=−x4⋅fi(−x3x4)x23−x3x4+x24,1≤i≤4.
Легко видеть, что полученные выражения для dx1,dx2,dx3,dx4dx1,dx2,dx3,dx4
совпадают с соответствующими выражениями для dx1,dx2,dx3,dx4dx1,dx2,dx3,dx4 из
условия теоремы.
Таким образом, необходимость доказана, и доказательство теоремы завершено.
Наименьшие натуральные решения:
33+43+53=6333+43+53=63
13+63+83=9313+63+83=93
33+103+183=19333+103+183=193
73+143+173=20373+143+173=203
43+173+223=25343+173+223=253
183+193+213=283183+193+213=283
113+153+273=293113+153+273=293
23+173+403=41323+173+403=413
63+323+333=41363+323+333=413
163+233+413=443163+233+413=443
Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:
−13+93+103=123−13+93+103=123
−23+93+153=163−23+93+153=163
−23+153+333=343−23+153+333=343
−23+413+863=893−23+413+863=893
−33+223+593=603−33+223+593=603
Г. Харди и Райт (1938)
*x=−a(b−3c)(b2+3c2)+a4x=−a(b−3c)(b2+3c2)+a4
*y=a(b+3c)(b2+3c2)−a4y=a(b+3c)(b2+3c2)−a4
*z=a3(b−3c)−(b2+3c2)2z=a3(b−3c)−(b2+3c2)2
*w=a3(b+3c)−(b2+3c2)2w=a3(b+3c)−(b2+3c2)2
Н. Элкиес \{begin\{cases\}
x = d(-(s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t - s\^3 + rs\^2 - 2r\^2s - r\^3), \{\{ y = d(t\^3 - (s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t + rs\^2 - 2r\^2s + r\^3), \{\{ z = d(-t\^3 + (s+r)t\^2 - (s\^2+2r\^2) t + 2rs\^2 - r\^2s + 2r\^3), \{\{ w = d((s-2r)t\^2 + (r\^2-s\^2) t + s\^3 - rs\^2 + 2r\^2s - 2r\^3) \{end\{cases\}
Г. Александров (рекуррентные формулы) \{begin\{cases\}
x = x\_0(x\_0+y\_0)a\^2+(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-y\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ y = y\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-x\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ z = z\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+w\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ w = w\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+z\_0(w\_0-z\_0)b\^2 \{end\{cases\}
Начало частным сериям решений положил величайший мировой математик Леонард Эйлер и считал задачу о четырех кубах одной из важных в теории чисел http://math4school.ru/euler.html
Эйлер, 1740 г.
*x=1−(a−3b)(a2+3b2)x=1−(a−3b)(a2+3b2)
*y=−1+(a+3b)(a2+3b2)y=−1+(a+3b)(a2+3b2)
*z=−a−3b+(a2+3b2)2z=−a−3b+(a2+3b2)2
*w=−a+3b+(a2+3b2)2w=−a+3b+(a2+3b2)2
Линник, 1940 г.
*x=b(a6−b6)x=b(a6−b6)
*y=a(a6−b6)y=a(a6−b6)
*z=b(2a6+3a3b3+b6)z=b(2a6+3a3b3+b6)
*w=a(a6+3a3b3+2b6)w=a(a6+3a3b3+2b6)
*x=a2(b6−7)+9ac−3c2x=a2(b6−7)+9ac−3c2
*y=a2[b3(2b3+9)+7]−3ac(2b3+3)+3c2y=a2[b3(2b3+9)+7]−3ac(2b3+3)+3c2
*z=a2b[b3(b3+3)+2]−3abc(b3+2)+3bc2z=a2b[b3(b3+3)+2]−3abc(b3+2)+3bc2
*w=a2b[b3(b3+6)+11]−3abc(b3+4)+3bc2w=a2b[b3(b3+6)+11]−3abc(b3+4)+3bc2
*x=3a2(b6−7)−9ac−c2x=3a2(b6−7)−9ac−c2
*y=3a2[b3(2b3−9)+7]−3ac(2b3−3)+c2y=3a2[b3(2b3−9)+7]−3ac(2b3−3)+c2
*z=3a2b[b3(b3−6)+11]−3abc(b3−4)+bc2z=3a2b[b3(b3−6)+11]−3abc(b3−4)+bc2
*w=3a2b[b3(b3−3)+2]−3abc(b3−2)+bc2w=3a2b[b3(b3−3)+2]−3abc(b3−2)+bc2
Roger Heath-Brown1, 1993 г.
*x=9a4x=9a4
*y=3a−9a4y=3a−9a4
*z=1−9a3z=1−9a3
*w=1w=1
Морделл, 1956 г.
*x=9a3b+b4x=9a3b+b4
*y=9a4y=9a4
*z=−b4z=−b4
*w=9a4+3ab3w=9a4+3ab3
*x=9a3b−b4x=9a3b−b4
*y=9a4−3ab3y=9a4−3ab3
*z=b4z=b4
*w=9a4w=9a4
*x=9a3b+b4x=9a3b+b4
*y=9a3b−b4y=9a3b−b4
*z=9a4−3ab3z=9a4−3ab3
*w=9a4+3ab3w=9a4+3ab3
Решение, полученное методом алгебраической геометрии (:en:Fermat cubic)
*;x=3a(a2+ab+b2)−9x=3a(a2+ab+b2)−9
*;y=(a2+ab+b2)2−9ay=(a2+ab+b2)2−9a
*;z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9
*;w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)
Рамануджан
*x=3a2+5ab−5b2x=3a2+5ab−5b2
*y=4a2−4ab+6b2y=4a2−4ab+6b2
*z=5a2−5ab−3b2z=5a2−5ab−3b2
*w=6a2−4ab+4b2w=6a2−4ab+4b2
*x=a7−3a4(1+b)+a(2+6b+3b2)x=a7−3a4(1+b)+a(2+6b+3b2)
*y=2a6−3a3(1+2b)+1+3b+3b2y=2a6−3a3(1+2b)+1+3b+3b2
*z=a6−1−3b−3b2z=a6−1−3b−3b2
*w=a7−3a4b+a(3b2−1)w=a7−3a4b+a(3b2−1)
*x=−a2+9ab+b2x=−a2+9ab+b2
*y=a2+7ab−9b2y=a2+7ab−9b2
*z=2a2−4ab+12b2z=2a2−4ab+12b2
*w=2a2+10b2w=2a2+10b2
Неизвестный автор, 1825 г.
*x=a9−36x=a9−36
*y=−a9+35a3+36y=−a9+35a3+36
*z=33a6+35a3z=33a6+35a3
*w=32a7+34a4+36aw=32a7+34a4+36a
Д. Лемер, 1955 г.
*x=3888a10−135a4x=3888a10−135a4
*y=−3888a10−1296a7−81a4+3ay=−3888a10−1296a7−81a4+3a
*z=3888a9+648a6−9a3+1z=3888a9+648a6−9a3+1
*w=1w=1
В. Б. Лабковский
*x=4b2−11b−21x=4b2−11b−21
*y=3b2+11b−28y=3b2+11b−28
*z=5b2−7b+42z=5b2−7b+42
*w=6b2−7b+35w=6b2−7b+35
Харди и Райт
*x=a(a3−2b3)x=a(a3−2b3)
*y=b(2a3−b3)y=b(2a3−b3)
*z=b(a3+b3)z=b(a3+b3)
*w=a(a3+b3)w=a(a3+b3)
*x=a(a3−b3)x=a(a3−b3)
*y=b(a3−b3)y=b(a3−b3)
*z=b(2a3+b3)z=b(2a3+b3)
*w=a(a3+2b3)w=a(a3+2b3)
Г. Александров, 1972 г.
*x=7a2+17ab−6b2x=7a2+17ab−6b2
*y=42a2−17ab−b2y=42a2−17ab−b2
*z=56a2−35ab+9b2z=56a2−35ab+9b2
*w=63a2−35ab+8b2w=63a2−35ab+8b2
*x=7a2+17ab−17b2x=7a2+17ab−17b2
*y=17a2−17ab−7b2y=17a2−17ab−7b2
*z=14a2−20ab+20b2z=14a2−20ab+20b2
*w=20a2−20ab+14b2w=20a2−20ab+14b2
*x=21a2+23ab−19b2x=21a2+23ab−19b2
*y=19a2−23ab−21b2y=19a2−23ab−21b2
*z=18a2+4ab+28b2z=18a2+4ab+28b2
*w=28a2+4ab+18b2w=28a2+4ab+18b2
*x=3a2+41ab−37b2x=3a2+41ab−37b2
*y=37a2−41ab−3b2y=37a2−41ab−3b2
*z=36a2−68ab+46b2z=36a2−68ab+46b2
*w=46a2−68ab+36b2w=46a2−68ab+36b2
*x=−4a2+22ab−9b2x=−4a2+22ab−9b2
*y=36a2−22ab+b2y=36a2−22ab+b2
*z=40a2−40ab+12b2z=40a2−40ab+12b2
*w=48a2−40ab+10b2w=48a2−40ab+10b2
Коровьев, 2012 г.
*x=−(2a2−2ab−b2)cd3−(a2−ab+b2)2c4x=−(2a2−2ab−b2)cd3−(a2−ab+b2)2c4
*y=(2a2−2ab−b2)c3d+(a2−ab+b2)2d4y=(2a2−2ab−b2)c3d+(a2−ab+b2)2d4
*z=(a2+2ab−2b2)c3d−(a2−ab+b2)2d4
*w=(a2+2ab−2b2)cd3−(a2−ab+b2)2c4
где a, b,c и d — любые целые числа.
x3+y3+z3=w3.
Полное решение уравнений x3+y3+z3=w3
Общее целочисленное решение
Теорема (Ajai Choudhry, 1998). Полное целочисленное решение уравнения
x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1
даётся формулами
dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,
dx2=−{a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4−(a−b)c3},
dx3=c(−a3+b3+c3),
dx4=−{(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},
где числа a,b,c−
Замечание: запись (x1,x2,x3,x4)=1
Схема доказательства (обозначения, используемые ниже, немного отличаются от используемых в статье Ajai Choudhry для достижения большей ясности изложения).
1. Для произвольных целых чисел a,b,c
f1(θ)=(a+b)θ+1;
f2(θ)=aθ−b;
f3(θ)=cθ;
f4(θ)=−c;
g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);
Δ(θ)=θ2+θ+1.
2. Непосредственно проверяем, что многочлен g(θ)
3. Следовательно, единственным действительным корнем многочлена g(θ)
θ0=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3.
Ясно, что этот корень всегда существует, так как по Великой теореме Ферма знаменатель дроби не обращается в нуль.
4. Заметим, что равенство g(θ0)=0
Интересна следующая деталь: вместо того, чтобы сослаться на ВТФ и проигнорировать случай, когда a3+(a+b)3+c3=0
5. Итак, в теореме осталось доказать необходимость. Дано произвольное ненулевое решение x1,x2,x3,x4
x3≠0,x4≠0,x1≠−x3.
Полагаем
a=x2x3−x1x4;
b=x1x3−x2x3+x2x4;
c=x23−x3x4+x24.
Обозначения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ)
6. Замечаем, что
g(−x3x4)=−(x31+...+x34)⋅cx4=0.
Делаем вывод, что число θ1=−x3x4
7. Но единственный корень уравнения g(θ)=0
−x3x4=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3,
откуда b3+c3−a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=k
(k
8. Число k
9. Так как x31+x32+x33+x34=0
10. Далее автор предлагает читателю непосредственно проверить, используя наше предположение x1≠−x3
(a3+(a+b)3+c3)⋅fi(θ1)=kcxi,1≤i≤4.
11. После введения обозначения d=kc
d⋅xi=−x4⋅fi(−x3x4)x23−x3x4+x24,1≤i≤4.
Легко видеть, что полученные выражения для dx1,dx2,dx3,dx4
Таким образом, необходимость доказана, и доказательство теоремы завершено.
Примеры целочисленных решений
Наименьшие натуральные решения:
33+43+53=63
13+63+83=93
33+103+183=193
73+143+173=203
43+173+223=253
183+193+213=283
113+153+273=293
23+173+403=413
63+323+333=413
163+233+413=443
Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:
−13+93+103=123
−23+93+153=163
−23+153+333=343
−23+413+863=893
−33+223+593=603
Полные рациональные параметризации
Г. Харди и Райт (1938)
*x=−a(b−3c)(b2+3c2)+a4
*y=a(b+3c)(b2+3c2)−a4
*z=a3(b−3c)−(b2+3c2)2
*w=a3(b+3c)−(b2+3c2)2
Н. Элкиес \{begin\{cases\}
x = d(-(s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t - s\^3 + rs\^2 - 2r\^2s - r\^3), \{\{ y = d(t\^3 - (s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t + rs\^2 - 2r\^2s + r\^3), \{\{ z = d(-t\^3 + (s+r)t\^2 - (s\^2+2r\^2) t + 2rs\^2 - r\^2s + 2r\^3), \{\{ w = d((s-2r)t\^2 + (r\^2-s\^2) t + s\^3 - rs\^2 + 2r\^2s - 2r\^3) \{end\{cases\}
Г. Александров (рекуррентные формулы) \{begin\{cases\}
x = x\_0(x\_0+y\_0)a\^2+(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-y\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ y = y\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-x\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ z = z\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+w\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ w = w\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+z\_0(w\_0-z\_0)b\^2 \{end\{cases\}
Другие серии решений
Начало частным сериям решений положил величайший мировой математик Леонард Эйлер и считал задачу о четырех кубах одной из важных в теории чисел http://math4school.ru/euler.html
Эйлер, 1740 г.
*x=1−(a−3b)(a2+3b2)
*y=−1+(a+3b)(a2+3b2)
*z=−a−3b+(a2+3b2)2
*w=−a+3b+(a2+3b2)2
Линник, 1940 г.
*x=b(a6−b6)
*y=a(a6−b6)
*z=b(2a6+3a3b3+b6)
*w=a(a6+3a3b3+2b6)
*x=a2(b6−7)+9ac−3c2
*y=a2[b3(2b3+9)+7]−3ac(2b3+3)+3c2
*z=a2b[b3(b3+3)+2]−3abc(b3+2)+3bc2
*w=a2b[b3(b3+6)+11]−3abc(b3+4)+3bc2
*x=3a2(b6−7)−9ac−c2
*y=3a2[b3(2b3−9)+7]−3ac(2b3−3)+c2
*z=3a2b[b3(b3−6)+11]−3abc(b3−4)+bc2
*w=3a2b[b3(b3−3)+2]−3abc(b3−2)+bc2
Roger Heath-Brown1, 1993 г.
*x=9a4
*y=3a−9a4
*z=1−9a3
*w=1
Морделл, 1956 г.
*x=9a3b+b4
*y=9a4
*z=−b4
*w=9a4+3ab3
*x=9a3b−b4
*y=9a4−3ab3
*z=b4
*w=9a4
*x=9a3b+b4
*y=9a3b−b4
*z=9a4−3ab3
*w=9a4+3ab3
Решение, полученное методом алгебраической геометрии (:en:Fermat cubic)
*;x=3a(a2+ab+b2)−9
*;y=(a2+ab+b2)2−9a
*;z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9
*;w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)
Рамануджан
*x=3a2+5ab−5b2
*y=4a2−4ab+6b2
*z=5a2−5ab−3b2
*w=6a2−4ab+4b2
*x=a7−3a4(1+b)+a(2+6b+3b2)
*y=2a6−3a3(1+2b)+1+3b+3b2
*z=a6−1−3b−3b2
*w=a7−3a4b+a(3b2−1)
*x=−a2+9ab+b2
*y=a2+7ab−9b2
*z=2a2−4ab+12b2
*w=2a2+10b2
Неизвестный автор, 1825 г.
*x=a9−36
*y=−a9+35a3+36
*z=33a6+35a3
*w=32a7+34a4+36a
Д. Лемер, 1955 г.
*x=3888a10−135a4
*y=−3888a10−1296a7−81a4+3a
*z=3888a9+648a6−9a3+1
*w=1
В. Б. Лабковский
*x=4b2−11b−21
*y=3b2+11b−28
*z=5b2−7b+42
*w=6b2−7b+35
Харди и Райт
*x=a(a3−2b3)
*y=b(2a3−b3)
*z=b(a3+b3)
*w=a(a3+b3)
*x=a(a3−b3)
*y=b(a3−b3)
*z=b(2a3+b3)
*w=a(a3+2b3)
Г. Александров, 1972 г.
*x=7a2+17ab−6b2
*y=42a2−17ab−b2
*z=56a2−35ab+9b2
*w=63a2−35ab+8b2
*x=7a2+17ab−17b2
*y=17a2−17ab−7b2
*z=14a2−20ab+20b2
*w=20a2−20ab+14b2
*x=21a2+23ab−19b2
*y=19a2−23ab−21b2
*z=18a2+4ab+28b2
*w=28a2+4ab+18b2
*x=3a2+41ab−37b2
*y=37a2−41ab−3b2
*z=36a2−68ab+46b2
*w=46a2−68ab+36b2
*x=−4a2+22ab−9b2
*y=36a2−22ab+b2
*z=40a2−40ab+12b2
*w=48a2−40ab+10b2
Коровьев, 2012 г.
*x=−(2a2−2ab−b2)cd3−(a2−ab+b2)2c4
*y=(2a2−2ab−b2)c3d+(a2−ab+b2)2d4
*z=(a2+2ab−2b2)c3d−(a2−ab+b2)2d4
*w=(a2+2ab−2b2)cd3−(a2−ab+b2)2c4
где a, b,c и d — любые целые числа.