Задача о четырёх кубах

 Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:
 
 Полное решение уравнений x3+y3+z3=w3 и x3+y3=z3+w3 в целых числах, а также в натуральных числах, получено в статье индийского математика Ajai Choudhry (см. список литературы).
 

Общее целочисленное решение

 Теорема (Ajai Choudhry, 1998). Полное целочисленное решение уравнения
 x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1
 даётся формулами
 dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,
 dx2=−{a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4−(a−b)c3},
 dx3=c(−a3+b3+c3),
 dx4=−{(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},
 где числа a,b,c− произвольные целые, а число d≠0 выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие (x1,x2,x3,x4)=1.
 Замечание: запись (x1,x2,x3,x4)=1 означает, что числа x1,x2,x3,x4 попарно взаимно просты.
 Схема доказательства (обозначения, используемые ниже, немного отличаются от используемых в статье Ajai Choudhry для достижения большей ясности изложения).
 1. Для произвольных целых чисел a,b,c введём обозначения:
 f1(θ)=(a+b)θ+1;
 f2(θ)=aθ−b;
 f3(θ)=cθ;
 f4(θ)=−c;
 g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);
 Δ(θ)=θ2+θ+1.
 2. Непосредственно проверяем, что многочлен g(θ) делится на многочлен Δ(θ). Очевидно, что многочлен Δ(θ) не имеет действительных корней.
 3. Следовательно, единственным действительным корнем многочлена g(θ) является число
 θ0=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3.
 Ясно, что этот корень всегда существует, так как по Великой теореме Ферма знаменатель дроби не обращается в нуль.
 4. Заметим, что равенство g(θ0)=0 совпадает с исходным уравнением, коль скоро мы полагаем xi=fi(θ0). Автор предлагает читателю подставить θ=θ0 в выражения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ) и непосредственно проверить, что с точностью до множителя d полученные значения для x1,x2,x3,x4 совпадают с соответствующими выражениями для x1,x2,x3,x4 из условия теоремы. То есть значения dx1,dx2,dx3,dx4, полученные по формулам из п.1 для любых целых a,b,c,d, - корни исходного уравнения. Таким образом, доказана достаточность теоремы.
 Интересна следующая деталь: вместо того, чтобы сослаться на ВТФ и проигнорировать случай, когда a3+(a+b)3+c3=0, автор оговаривает лишь, что полученные параметрические выражения для x1,x2,x3,x4 задают корни уравнения даже в том случае, когда a3+(a+b)3+c3=0.
 5. Итак, в теореме осталось доказать необходимость. Дано произвольное ненулевое решение x1,x2,x3,x4 исходного уравнения; все xi попарно взаимно просты. Без ограничения общности мы можем считать, что
 x3≠0,x4≠0,x1≠−x3.
 Полагаем
 a=x2x3−x1x4;
 b=x1x3−x2x3+x2x4;
 c=x23−x3x4+x24.
 Обозначения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ) сохраняем прежними.
 6. Замечаем, что
 g(−x3x4)=−(x31+...+x34)⋅cx4=0.
 Делаем вывод, что число θ1=−x3x4 является корнем уравнения g(θ)=0.
 7. Но единственный корень уравнения g(θ)=0, как было показано в п.3, - это число θ0, поэтому θ1=θ0:
 −x3x4=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3,
 откуда b3+c3−a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=k
 (k - некоторое рациональное число).
 8. Число k существует, так как по нашему предположения (см. п.5) выполняются условия x3≠0 и x4≠0.
 9. Так как x31+x32+x33+x34=0, то можно непосредственно проверить (если в любую из дробей, определяющих число k, вместо a,b,c подставить их выражения через x1,x2,x3,x4), что число k целое.
 10. Далее автор предлагает читателю непосредственно проверить, используя наше предположение x1≠−x3 (см. п.5), что
 (a3+(a+b)3+c3)⋅fi(θ1)=kcxi,1≤i≤4.
 11. После введения обозначения d=kc (так как k целое, то d тоже целое) окончательно получаем следующие формулы (в статье имеются чуть более подробные выкладки):
 d⋅xi=−x4⋅fi(−x3x4)x23−x3x4+x24,1≤i≤4.
 Легко видеть, что полученные выражения для dx1,dx2,dx3,dx4 совпадают с соответствующими выражениями для dx1,dx2,dx3,dx4 из условия теоремы.
 Таким образом, необходимость доказана, и доказательство теоремы завершено.
 

Примеры целочисленных решений

 Наименьшие натуральные решения:
 
 
  33+43+53=63
 13+63+83=93
 33+103+183=193
 73+143+173=203
 43+173+223=253
 183+193+213=283
 113+153+273=293
 23+173+403=413
 63+323+333=413
 163+233+413=443
 
 Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:
 
 
  −13+93+103=123
 −23+93+153=163
 −23+153+333=343
 −23+413+863=893
 −33+223+593=603
 
 

Полные рациональные параметризации

 
 
Г. Харди и Райт (1938) 
  *
 *
 *
 *
 
 
Н. Элкиес  \{begin\{cases\}
  x = d(-(s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t - s\^3 + rs\^2 - 2r\^2s - r\^3), \{\{ y = d(t\^3 - (s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t + rs\^2 - 2r\^2s + r\^3), \{\{ z = d(-t\^3 + (s+r)t\^2 - (s\^2+2r\^2) t + 2rs\^2 - r\^2s + 2r\^3), \{\{ w = d((s-2r)t\^2 + (r\^2-s\^2) t + s\^3 - rs\^2 + 2r\^2s - 2r\^3) \{end\{cases\}
 
 
Г. Александров (рекуррентные формулы)  \{begin\{cases\}
  x = x\_0(x\_0+y\_0)a\^2+(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-y\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ y = y\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-x\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ z = z\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+w\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ w = w\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+z\_0(w\_0-z\_0)b\^2 \{end\{cases\}
 

Другие серии решений

 Начало частным сериям решений положил величайший мировой математик Леонард Эйлер и считал задачу о четырех кубах одной из важных в теории чисел http://math4school.ru/euler.html
 
 
Эйлер, 1740 г. 
  *
 *
 *
 *
 
 
Линник, 1940 г. 
  *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 
 
Roger Heath-Brown1, 1993 г. 
  *
 *
 *
 *
 
 
Морделл, 1956 г. 
  *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 
 
Решение, полученное методом алгебраической геометрии (:en:Fermat cubic) 
  *;x=3a(a2+ab+b2)−9
 *;y=(a2+ab+b2)2−9a
 *;z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9
 *;w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)
 
 
Рамануджан 
  *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 
 
Неизвестный автор, 1825 г. 
  *
 *
 *
 *
 
 
Д. Лемер, 1955 г. 
  *
 *
 *
 *
 
 
В. Б. Лабковский 
  *
 *
 *
 *
 
 
Харди и Райт 
  *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 
 
Г. Александров, 1972 г. 
  *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 
 
Коровьев, 2012 г. 
  *
 *
 *
 *
 где a, b,c и d — любые целые числа.