xy=yx

Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:
x3+y3+z3=w3.
x3+y3+z3=w3.

 Полное решение уравнений x3+y3+z3=w3x3+y3+z3=w3 и x3+y3=z3+w3x3+y3=z3+w3 в целых числах, а также в натуральных числах, получено в статье индийского математика Ajai Choudhry (см. список литературы).

Общее целочисленное решение


 Теорема (Ajai Choudhry, 1998). Полное целочисленное решение уравнения
x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1
 даётся формулами
dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3,
dx2={a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4(ab)c3},dx2={a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4(ab)c3},
dx3=c(a3+b3+c3),dx3=c(a3+b3+c3),
dx4={(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},dx4={(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4},
 где числа a,b,ca,b,c произвольные целые, а число d0d0 выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие (x1,x2,x3,x4)=1(x1,x2,x3,x4)=1.
 Замечание: запись (x1,x2,x3,x4)=1(x1,x2,x3,x4)=1 означает, что числа x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 попарно взаимно просты.
 Схема доказательства (обозначения, используемые ниже, немного отличаются от используемых в статье Ajai Choudhry для достижения большей ясности изложения).
 1. Для произвольных целых чисел a,b,ca,b,c введём обозначения:
f1(θ)=(a+b)θ+1;f1(θ)=(a+b)θ+1;
f2(θ)=aθb;f2(θ)=aθb;
f3(θ)=cθ;f3(θ)=cθ;
f4(θ)=c;f4(θ)=c;
g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ);
Δ(θ)=θ2+θ+1.Δ(θ)=θ2+θ+1.
 2. Непосредственно проверяем, что многочлен g(θ)g(θ) делится на многочлен Δ(θ)Δ(θ). Очевидно, что многочлен Δ(θ)Δ(θ) не имеет действительных корней.
 3. Следовательно, единственным действительным корнем многочлена g(θ)g(θ) является число
θ0=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3.θ0=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3.
 Ясно, что этот корень всегда существует, так как по Великой теореме Ферма знаменатель дроби не обращается в нуль.
 4. Заметим, что равенство g(θ0)=0g(θ0)=0 совпадает с исходным уравнением, коль скоро мы полагаем xi=fi(θ0)xi=fi(θ0). Автор предлагает читателю подставить θ=θ0θ=θ0 в выражения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ)f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ) и непосредственно проверить, что с точностью до множителя dd полученные значения для x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 совпадают с соответствующими выражениями для x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 из условия теоремы. То есть значения dx1,dx2,dx3,dx4dx1,dx2,dx3,dx4, полученные по формулам из п.1 для любых целых a,b,c,da,b,c,d, - корни исходного уравнения. Таким образом, доказана достаточность теоремы.
 Интересна следующая деталь: вместо того, чтобы сослаться на ВТФ и проигнорировать случай, когда a3+(a+b)3+c3=0a3+(a+b)3+c3=0, автор оговаривает лишь, что полученные параметрические выражения для x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 задают корни уравнения даже в том случае, когда a3+(a+b)3+c3=0a3+(a+b)3+c3=0.
 5. Итак, в теореме осталось доказать необходимость. Дано произвольное ненулевое решение x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 исходного уравнения; все xixi попарно взаимно просты. Без ограничения общности мы можем считать, что
x30,x40,x1x3.x30,x40,x1x3.
 Полагаем
a=x2x3x1x4;a=x2x3x1x4;
b=x1x3x2x3+x2x4;b=x1x3x2x3+x2x4;
c=x23x3x4+x24.c=x23x3x4+x24.
 Обозначения для f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ)f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ) сохраняем прежними.
 6. Замечаем, что
g(x3x4)=(x31+...+x34)cx4=0.g(x3x4)=(x31+...+x34)cx4=0.
 Делаем вывод, что число θ1=x3x4θ1=x3x4 является корнем уравнения g(θ)=0g(θ)=0.
 7. Но единственный корень уравнения g(θ)=0g(θ)=0, как было показано в п.3, - это число θ0θ0, поэтому θ1=θ0θ1=θ0:
x3x4=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3,x3x4=b3+c3a3a3+(a+b)3+c3,
 откуда b3+c3a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=kb3+c3a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=k
 (kk - некоторое рациональное число).
 8. Число kk существует, так как по нашему предположения (см. п.5) выполняются условия x30x30 и x40x40.
 9. Так как x31+x32+x33+x34=0x31+x32+x33+x34=0, то можно непосредственно проверить (если в любую из дробей, определяющих число kk, вместо a,b,ca,b,c подставить их выражения через x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4), что число kk целое.
 10. Далее автор предлагает читателю непосредственно проверить, используя наше предположение x1x3x1x3 (см. п.5), что
(a3+(a+b)3+c3)fi(θ1)=kcxi,1i4.(a3+(a+b)3+c3)fi(θ1)=kcxi,1i4.
 11. После введения обозначения d=kcd=kc (так как kk целое, то dd тоже целое) окончательно получаем следующие формулы (в статье имеются чуть более подробные выкладки):
dxi=x4fi(x3x4)x23x3x4+x24,1i4.dxi=x4fi(x3x4)x23x3x4+x24,1i4.
 Легко видеть, что полученные выражения для dx1,dx2,dx3,dx4dx1,dx2,dx3,dx4 совпадают с соответствующими выражениями для dx1,dx2,dx3,dx4dx1,dx2,dx3,dx4 из условия теоремы.
 Таким образом, необходимость доказана, и доказательство теоремы завершено.

Примеры целочисленных решений


 Наименьшие натуральные решения:


33+43+53=6333+43+53=63
13+63+83=9313+63+83=93
33+103+183=19333+103+183=193
73+143+173=20373+143+173=203
43+173+223=25343+173+223=253
183+193+213=283183+193+213=283
113+153+273=293113+153+273=293
23+173+403=41323+173+403=413
63+323+333=41363+323+333=413
163+233+413=443163+233+413=443

 Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:


13+93+103=12313+93+103=123
23+93+153=16323+93+153=163
23+153+333=34323+153+333=343
23+413+863=89323+413+863=893
33+223+593=60333+223+593=603

Полные рациональные параметризации




Г. Харди и Райт (1938) 
  *x=a(b3c)(b2+3c2)+a4
x=a(b3c)(b2+3c2)+a4

 *y=a(b+3c)(b2+3c2)a4
y=a(b+3c)(b2+3c2)a4

 *z=a3(b3c)(b2+3c2)2
z=a3(b3c)(b2+3c2)2

 *w=a3(b+3c)(b2+3c2)2
w=a3(b+3c)(b2+3c2)2



Н. Элкиес  \{begin\{cases\}
  x = d(-(s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t - s\^3 + rs\^2 - 2r\^2s - r\^3), \{\{ y = d(t\^3 - (s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t + rs\^2 - 2r\^2s + r\^3), \{\{ z = d(-t\^3 + (s+r)t\^2 - (s\^2+2r\^2) t + 2rs\^2 - r\^2s + 2r\^3), \{\{ w = d((s-2r)t\^2 + (r\^2-s\^2) t + s\^3 - rs\^2 + 2r\^2s - 2r\^3) \{end\{cases\}


Г. Александров (рекуррентные формулы)  \{begin\{cases\}
  x = x\_0(x\_0+y\_0)a\^2+(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-y\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ y = y\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-x\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ z = z\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+w\_0(w\_0-z\_0)b\^2, \{\{ w = w\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+z\_0(w\_0-z\_0)b\^2 \{end\{cases\}

Другие серии решений


 Начало частным сериям решений положил величайший мировой математик Леонард Эйлер и считал задачу о четырех кубах одной из важных в теории чисел http://math4school.ru/euler.html


Эйлер, 1740 г. 
  *x=1(a3b)(a2+3b2)
x=1(a3b)(a2+3b2)

 *y=1+(a+3b)(a2+3b2)
y=1+(a+3b)(a2+3b2)

 *z=a3b+(a2+3b2)2
z=a3b+(a2+3b2)2

 *w=a+3b+(a2+3b2)2
w=a+3b+(a2+3b2)2



Линник, 1940 г. 
  *x=b(a6b6)
x=b(a6b6)

 *y=a(a6b6)
y=a(a6b6)

 *z=b(2a6+3a3b3+b6)
z=b(2a6+3a3b3+b6)

 *w=a(a6+3a3b3+2b6)
w=a(a6+3a3b3+2b6)

 *x=a2(b67)+9ac3c2
x=a2(b67)+9ac3c2

 *y=a2[b3(2b3+9)+7]3ac(2b3+3)+3c2
y=a2[b3(2b3+9)+7]3ac(2b3+3)+3c2

 *z=a2b[b3(b3+3)+2]3abc(b3+2)+3bc2
z=a2b[b3(b3+3)+2]3abc(b3+2)+3bc2

 *w=a2b[b3(b3+6)+11]3abc(b3+4)+3bc2
w=a2b[b3(b3+6)+11]3abc(b3+4)+3bc2

 *x=3a2(b67)9acc2
x=3a2(b67)9acc2

 *y=3a2[b3(2b39)+7]3ac(2b33)+c2
y=3a2[b3(2b39)+7]3ac(2b33)+c2

 *z=3a2b[b3(b36)+11]3abc(b34)+bc2
z=3a2b[b3(b36)+11]3abc(b34)+bc2

 *w=3a2b[b3(b33)+2]3abc(b32)+bc2
w=3a2b[b3(b33)+2]3abc(b32)+bc2



Roger Heath-Brown1, 1993 г. 
  *x=9a4
x=9a4

 *y=3a9a4
y=3a9a4

 *z=19a3
z=19a3

 *w=1
w=1



Морделл, 1956 г. 
  *x=9a3b+b4
x=9a3b+b4

 *y=9a4
y=9a4

 *z=b4
z=b4

 *w=9a4+3ab3
w=9a4+3ab3

 *x=9a3bb4
x=9a3bb4

 *y=9a43ab3
y=9a43ab3

 *z=b4
z=b4

 *w=9a4
w=9a4

 *x=9a3b+b4
x=9a3b+b4

 *y=9a3bb4
y=9a3bb4

 *z=9a43ab3
z=9a43ab3

 *w=9a4+3ab3
w=9a4+3ab3



Решение, полученное методом алгебраической геометрии (:en:Fermat cubic) 
  *;x=3a(a2+ab+b2)9x=3a(a2+ab+b2)9
 *;y=(a2+ab+b2)29ay=(a2+ab+b2)29a
 *;z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9
 *;w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)w=(a2+ab+b2)2+9(a+b)


Рамануджан 
  *x=3a2+5ab5b2
x=3a2+5ab5b2

 *y=4a24ab+6b2
y=4a24ab+6b2

 *z=5a25ab3b2
z=5a25ab3b2

 *w=6a24ab+4b2
w=6a24ab+4b2

 *x=a73a4(1+b)+a(2+6b+3b2)
x=a73a4(1+b)+a(2+6b+3b2)

 *y=2a63a3(1+2b)+1+3b+3b2
y=2a63a3(1+2b)+1+3b+3b2

 *z=a613b3b2
z=a613b3b2

 *w=a73a4b+a(3b21)
w=a73a4b+a(3b21)

 *x=a2+9ab+b2
x=a2+9ab+b2

 *y=a2+7ab9b2
y=a2+7ab9b2

 *z=2a24ab+12b2
z=2a24ab+12b2

 *w=2a2+10b2
w=2a2+10b2



Неизвестный автор, 1825 г. 
  *x=a936
x=a936

 *y=a9+35a3+36
y=a9+35a3+36

 *z=33a6+35a3
z=33a6+35a3

 *w=32a7+34a4+36a
w=32a7+34a4+36a



Д. Лемер, 1955 г. 
  *x=3888a10135a4
x=3888a10135a4

 *y=3888a101296a781a4+3a
y=3888a101296a781a4+3a

 *z=3888a9+648a69a3+1
z=3888a9+648a69a3+1

 *w=1
w=1



В. Б. Лабковский 
  *x=4b211b21
x=4b211b21

 *y=3b2+11b28
y=3b2+11b28

 *z=5b27b+42
z=5b27b+42

 *w=6b27b+35
w=6b27b+35



Харди и Райт 
  *x=a(a32b3)
x=a(a32b3)

 *y=b(2a3b3)
y=b(2a3b3)

 *z=b(a3+b3)
z=b(a3+b3)

 *w=a(a3+b3)
w=a(a3+b3)

 *x=a(a3b3)
x=a(a3b3)

 *y=b(a3b3)
y=b(a3b3)

 *z=b(2a3+b3)
z=b(2a3+b3)

 *w=a(a3+2b3)
w=a(a3+2b3)



Г. Александров, 1972 г. 
  *x=7a2+17ab6b2
x=7a2+17ab6b2

 *y=42a217abb2
y=42a217abb2

 *z=56a235ab+9b2
z=56a235ab+9b2

 *w=63a235ab+8b2
w=63a235ab+8b2

 *x=7a2+17ab17b2
x=7a2+17ab17b2

 *y=17a217ab7b2
y=17a217ab7b2

 *z=14a220ab+20b2
z=14a220ab+20b2

 *w=20a220ab+14b2
w=20a220ab+14b2

 *x=21a2+23ab19b2
x=21a2+23ab19b2

 *y=19a223ab21b2
y=19a223ab21b2

 *z=18a2+4ab+28b2
z=18a2+4ab+28b2

 *w=28a2+4ab+18b2
w=28a2+4ab+18b2

 *x=3a2+41ab37b2
x=3a2+41ab37b2

 *y=37a241ab3b2
y=37a241ab3b2

 *z=36a268ab+46b2
z=36a268ab+46b2

 *w=46a268ab+36b2
w=46a268ab+36b2

 *x=4a2+22ab9b2
x=4a2+22ab9b2

 *y=36a222ab+b2
y=36a222ab+b2

 *z=40a240ab+12b2
z=40a240ab+12b2

 *w=48a240ab+10b2
w=48a240ab+10b2



Коровьев, 2012 г. 
  *x=(2a22abb2)cd3(a2ab+b2)2c4
x=(2a22abb2)cd3(a2ab+b2)2c4

 *y=(2a22abb2)c3d+(a2ab+b2)2d4
y=(2a22abb2)c3d+(a2ab+b2)2d4

 *z=(a2+2ab2b2)c3d(a2ab+b2)2d4

 *w=(a2+2ab2b2)cd3(a2ab+b2)2c4

 где a, b,c и d — любые целые числа.