Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех
целочисленных решений диофантова уравнения:
x3+y3+z3=w3.
Полное решение уравнений
x3+y3+z3=w3 и
x3+y3=z3+w3 в целых
числах, а также в натуральных числах, получено в статье индийского
математика Ajai Choudhry (см. список литературы).
Общее целочисленное
решение
Теорема (Ajai Choudhry, 1998). Полное целочисленное решение уравнения
x31+x32+x33+x34=0,(x1,x2,x3,x4)=1 даётся формулами
dx1=(a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4)+(2a+b)c3, dx2=−{a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4−(a−b)c3}, dx3=c(−a3+b3+c3), dx4=−{(2a3+3a2b+3ab2+b3)c+c4}, где числа
a,b,c− произвольные целые, а число
d≠0 выбрано таким
образом, чтобы выполнялось условие
(x1,x2,x3,x4)=1.
Замечание: запись
(x1,x2,x3,x4)=1 означает, что числа
x1,x2,x3,x4 попарно взаимно просты.
Схема доказательства (обозначения, используемые ниже, немного отличаются
от используемых в статье Ajai Choudhry для достижения большей ясности
изложения).
1. Для произвольных целых чисел
a,b,c введём обозначения:
f1(θ)=(a+b)θ+1; f2(θ)=aθ−b; f3(θ)=cθ; f4(θ)=−c; g(θ)=f31(θ)+f32(θ)+f33(θ)+f34(θ); Δ(θ)=θ2+θ+1. 2. Непосредственно проверяем, что многочлен
g(θ) делится на
многочлен
Δ(θ). Очевидно, что многочлен
Δ(θ) не
имеет действительных корней.
3. Следовательно, единственным действительным корнем многочлена
g(θ) является число
θ0=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3. Ясно, что этот корень всегда существует, так как по Великой теореме
Ферма знаменатель дроби не обращается в нуль.
4. Заметим, что равенство
g(θ0)=0 совпадает с исходным
уравнением, коль скоро мы полагаем
xi=fi(θ0). Автор предлагает
читателю подставить
θ=θ0 в выражения для
f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ) и непосредственно
проверить, что с точностью до множителя
d полученные значения для
x1,x2,x3,x4 совпадают с соответствующими выражениями для
x1,x2,x3,x4 из условия теоремы. То есть значения
dx1,dx2,dx3,dx4, полученные по формулам из п.1 для любых целых
a,b,c,d, - корни исходного уравнения. Таким образом, доказана
достаточность теоремы.
Интересна следующая деталь: вместо того, чтобы сослаться на ВТФ и
проигнорировать случай, когда
a3+(a+b)3+c3=0, автор оговаривает
лишь, что полученные параметрические выражения для
x1,x2,x3,x4
задают корни уравнения даже в том случае, когда
a3+(a+b)3+c3=0.
5. Итак, в теореме осталось доказать необходимость. Дано произвольное
ненулевое решение
x1,x2,x3,x4 исходного уравнения; все
xi
попарно взаимно просты. Без ограничения общности мы можем считать, что
x3≠0,x4≠0,x1≠−x3. Полагаем
a=x2x3−x1x4; b=x1x3−x2x3+x2x4; c=x23−x3x4+x24. Обозначения для
f1(θ),f2(θ),f3(θ),f4(θ),g(θ) сохраняем
прежними.
6. Замечаем, что
g(−x3x4)=−(x31+...+x34)⋅cx4=0. Делаем вывод, что число
θ1=−x3x4 является корнем
уравнения
g(θ)=0.
7. Но единственный корень уравнения
g(θ)=0, как было показано в
п.3, - это число
θ0, поэтому
θ1=θ0:
−x3x4=b3+c3−a3a3+(a+b)3+c3, откуда
b3+c3−a3x3=a3+(a+b)3+c3x4=k (
k - некоторое рациональное число).
8. Число
k существует, так как по нашему предположения (см. п.5)
выполняются условия
x3≠0 и
x4≠0.
9. Так как
x31+x32+x33+x34=0, то можно непосредственно
проверить (если в любую из дробей, определяющих число
k, вместо
a,b,c подставить их выражения через
x1,x2,x3,x4), что число
k
целое.
10. Далее автор предлагает читателю непосредственно проверить, используя
наше предположение
x1≠−x3 (см. п.5), что
(a3+(a+b)3+c3)⋅fi(θ1)=kcxi,1≤i≤4. 11. После введения обозначения
d=kc (так как
k целое, то
d тоже
целое) окончательно получаем следующие формулы (в статье имеются чуть
более подробные выкладки):
d⋅xi=−x4⋅fi(−x3x4)x23−x3x4+x24,1≤i≤4. Легко видеть, что полученные выражения для
dx1,dx2,dx3,dx4
совпадают с соответствующими выражениями для
dx1,dx2,dx3,dx4 из
условия теоремы.
Таким образом, необходимость доказана, и доказательство теоремы
завершено.
Примеры целочисленных
решений
Наименьшие натуральные решения:
33+43+53=63 13+63+83=93 33+103+183=193 73+143+173=203 43+173+223=253 183+193+213=283 113+153+273=293 23+173+403=413 63+323+333=413 163+233+413=443 Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:
−13+93+103=123 −23+93+153=163 −23+153+333=343 −23+413+863=893 −33+223+593=603 Полные рациональные
параметризации
Г. Харди и Райт (1938)
*
x=−a(b−3c)(b2+3c2)+a4
*
y=a(b+3c)(b2+3c2)−a4
*
z=a3(b−3c)−(b2+3c2)2
*
w=a3(b+3c)−(b2+3c2)2
Н. Элкиес
\{begin\{cases\}
x = d(-(s+r)t\^2 + (s\^2+2r\^2) t - s\^3 + rs\^2 - 2r\^2s -
r\^3), \{\{ y = d(t\^3 - (s+r)t\^2 +
(s\^2+2r\^2) t + rs\^2 - 2r\^2s + r\^3),
\{\{ z = d(-t\^3 + (s+r)t\^2 -
(s\^2+2r\^2) t + 2rs\^2 - r\^2s + 2r\^3),
\{\{ w = d((s-2r)t\^2 + (r\^2-s\^2) t
+ s\^3 - rs\^2 + 2r\^2s - 2r\^3) \{end\{cases\}
Г. Александров (рекуррентные формулы)
\{begin\{cases\}
x = x\_0(x\_0+y\_0)a\^2+(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-y\_0(w\_0-z\_0)b\^2,
\{\{ y =
y\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(w\_0\^2-z\_0\^2)ab-x\_0(w\_0-z\_0)b\^2,
\{\{ z =
z\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+w\_0(w\_0-z\_0)b\^2,
\{\{ w =
w\_0(x\_0+y\_0)a\^2-(y\_0\^2-x\_0\^2)ab+z\_0(w\_0-z\_0)b\^2
\{end\{cases\}
Другие серии
решений
Начало частным сериям решений положил величайший мировой математик
Леонард Эйлер и считал задачу о четырех кубах одной из важных в теории
чисел
http://math4school.ru/euler.html Эйлер, 1740 г.
*
x=1−(a−3b)(a2+3b2)
*
y=−1+(a+3b)(a2+3b2)
*
z=−a−3b+(a2+3b2)2
*
w=−a+3b+(a2+3b2)2
Линник, 1940 г.
*
x=b(a6−b6)
*
y=a(a6−b6)
*
z=b(2a6+3a3b3+b6)
*
w=a(a6+3a3b3+2b6)
*
x=a2(b6−7)+9ac−3c2
*
y=a2[b3(2b3+9)+7]−3ac(2b3+3)+3c2
*
z=a2b[b3(b3+3)+2]−3abc(b3+2)+3bc2
*
w=a2b[b3(b3+6)+11]−3abc(b3+4)+3bc2
*
x=3a2(b6−7)−9ac−c2
*
y=3a2[b3(2b3−9)+7]−3ac(2b3−3)+c2
*
z=3a2b[b3(b3−6)+11]−3abc(b3−4)+bc2
*
w=3a2b[b3(b3−3)+2]−3abc(b3−2)+bc2
Roger Heath-Brown
1,
1993 г.
*
x=9a4
*
y=3a−9a4
*
z=1−9a3
*
w=1
Морделл, 1956 г.
*
x=9a3b+b4
*
y=9a4
*
z=−b4
*
w=9a4+3ab3
*
x=9a3b−b4
*
y=9a4−3ab3
*
z=b4
*
w=9a4
*
x=9a3b+b4
*
y=9a3b−b4
*
z=9a4−3ab3
*
w=9a4+3ab3
Решение, полученное методом алгебраической геометрии (:en:Fermat
cubic)
*;
x=3a(a2+ab+b2)−9 *;
y=(a2+ab+b2)2−9a *;
z=3(a2+ab+b2)(a+b)+9 *;
w=(a2+ab+b2)2+9(a+b) Рамануджан
*
x=3a2+5ab−5b2
*
y=4a2−4ab+6b2
*
z=5a2−5ab−3b2
*
w=6a2−4ab+4b2
*
x=a7−3a4(1+b)+a(2+6b+3b2)
*
y=2a6−3a3(1+2b)+1+3b+3b2
*
z=a6−1−3b−3b2
*
w=a7−3a4b+a(3b2−1)
*
x=−a2+9ab+b2
*
y=a2+7ab−9b2
*
z=2a2−4ab+12b2
*
w=2a2+10b2
Неизвестный автор, 1825 г.
*
x=a9−36
*
y=−a9+35a3+36
*
z=33a6+35a3
*
w=32a7+34a4+36a
Д. Лемер, 1955 г.
*
x=3888a10−135a4
*
y=−3888a10−1296a7−81a4+3a
*
z=3888a9+648a6−9a3+1
*
w=1
В. Б. Лабковский
*
x=4b2−11b−21
*
y=3b2+11b−28
*
z=5b2−7b+42
*
w=6b2−7b+35
Харди и Райт
*
x=a(a3−2b3)
*
y=b(2a3−b3)
*
z=b(a3+b3)
*
w=a(a3+b3)
*
x=a(a3−b3)
*
y=b(a3−b3)
*
z=b(2a3+b3)
*
w=a(a3+2b3)
Г. Александров, 1972 г.
*
x=7a2+17ab−6b2
*
y=42a2−17ab−b2
*
z=56a2−35ab+9b2
*
w=63a2−35ab+8b2
*
x=7a2+17ab−17b2
*
y=17a2−17ab−7b2
*
z=14a2−20ab+20b2
*
w=20a2−20ab+14b2
*
x=21a2+23ab−19b2
*
y=19a2−23ab−21b2
*
z=18a2+4ab+28b2
*
w=28a2+4ab+18b2
*
x=3a2+41ab−37b2
*
y=37a2−41ab−3b2
*
z=36a2−68ab+46b2
*
w=46a2−68ab+36b2
*
x=−4a2+22ab−9b2
*
y=36a2−22ab+b2
*
z=40a2−40ab+12b2
*
w=48a2−40ab+10b2
Коровьев, 2012 г.
*
x=−(2a2−2ab−b2)cd3−(a2−ab+b2)2c4
*
y=(2a2−2ab−b2)c3d+(a2−ab+b2)2d4
*
z=(a2+2ab−2b2)c3d−(a2−ab+b2)2d4
*
w=(a2+2ab−2b2)cd3−(a2−ab+b2)2c4
где
a,
b,c и
d — любые целые числа.