Аполлоний Пергский

Аполлоний Пергский (, Перге, 262 до н. э. — 190 до н. э.) — древнегреческий , один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н. э.

Биография и научная деятельность


 Сведения о жизни Аполлония практически отсутствуют. Родился он в малоазиатском городе Перге, ещё в ранней молодости присоединился к Александрийской математической школе Евклида и со временем преподавал там как признанный авторитет в геометрии и астрономии. В конце жизни на некоторое время вернулся на родину, где были открыты учебный центр и библиотека, аналогичные Александрийскому Мусейону. В тексте трудов Аполлония обнаружено упоминание о его сыне, которого также звали Аполлоний. Умер учёный, по-видимому, в Александрии.
 Аполлоний прославился в первую очередь монографией «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.
 Из других заслуг Аполлония перед наукой отметим, что он переработал астрономическую модель Евдокса, введя эпициклы и эксцентрики для объяснения неравномерности движения планет. Эту теорию позднее развили Гиппарх и Птолемей. Он также дал решение задачи о построении окружности, касающейся трёх заданных окружностей («задача Аполлония»), изучал спиральные линии, занимался геометрической оптикой.
 В честь Аполлония назван кратер на Луне.

Труд о конических сечениях


Содержание


 Четыре книги главного сочинения Аполлония о конических сечениях дошли до нас в греческом оригинале, три — в арабском переводе Сабита ибн Курры, а восьмая потеряна. Папп Александрийский в «Математическом собрании» сообщает некоторые сведения о содержании VIII книги. Эдмонд Галлей подготовил образцовое издание данного труда (Оксфорд, 1710), куда включил свою попытку реконструкции VIII книги (на основании предисловия к VII книге). До Галлея аналогичную попытку предпринял Ибн ал-Хайсам.
 Предшественниками Аполлония были Менехм, Конон Самосский, а также Евклид, чьё сочинение «Начала конических сечений» до нас не дошло. Евклид не включил теорию конических сечений в свои «Начала», вероятно, по той причине, что античные математики считали «совершенными линиями» только прямые и окружности.
 В книге I приводятся определения и уравнения («симптомы») конических сечений — впрочем, известные и до Аполлония. Новым явилось то, что классификация кривых, как и в современных учебниках, проводится алгебраически — по виду уравнения, а не из геометрических соображений. Более того, Аполлоний строго доказывает, что вид уравнения не зависит от выбора опорной системы координат; в качестве таковой выступают, как правило, произвольный диаметр кривой и касательная в одном из концов диаметра, но Аполлоний рассматривает и другие косоугольные системы координат (например, для гиперболы — пара асимптот).
 В последующем изложении (книги II—IV) выясняются свойства особых точек и линий, связанных с исследуемой кривой: фокусов, асимптот, полюсов и поляр, перечисляются их свойства, доказывается, что конические сечения могут пересекаться не более чем в 4 точках, поясняется, как строить касательные к этим кривым, определяются площади сегментов. Всего в труде 387 теорем.
 В предисловии Аполлоний сообщает, что, начиная с III книги, большая часть теорем являются новыми.
 V книга: теория нормалей и эволют для конических сечений, задачи на максимум и минимум.
 VI книга: теория подобия конических сечений.
 В VII-й (и, видимо, в VIII-й) книге приводятся знаменитые теоремы Аполлония о сопряжённых диаметрах и разнообразные приложения теории к геометрическим задачам.
 Большой интерес представляют не только результаты Аполлония, но и методы, которыми он пользуется. В них можно найти многочисленные мотивы более поздних достижений математики — алгебры, аналитической, проективной геометрии и местами даже дифференциальной геометрии.

Историческое влияние


 Книга оказала огромное влияние на творчество последующих математиков, включая Ферма, Декарта, Ньютона, Лагранжа и многих других. Многие теоремы Аполлония, особенно о максимумах, эволютах, нормалях и т. п. вошли в современные учебники по дифференциальной геометрии конических сечений.
 Каким образом Аполлоний, не владея математическим анализом, сумел сделать свои открытия, неясно. Возможно, у него, как у Архимеда, был некий метод бесконечно малых, который он использовал в эвристических целях, чтобы затем передоказать результат каноническими средствами античной геометрии. Ван дер Варден пишет:
 \beginquote Аполлоний виртуозно владеет геометрической алгеброй, но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать; рассуждения его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким рассуждениям, а не к иным каким-нибудь,— об этом можно лишь догадываться. \endquote
 До открытий Кеплера и Ньютона теория Аполлония практически применялась в основном для решения кубических уравнений, а также в оптике зеркал. Когда обнаружилось, что орбита материальной частицы в задаче двух тел есть одно из конических сечений, интерес к данным кривым резко возрос, и труды Аполлония были продолжены на новом математическом уровне.

Другие труды Аполлония


 В VII книге Математического собрания Паппа дается краткое описание шести математических трактатов Аполлония:

  • Отсечение отношения в двух книгах, содержащих 180 теорем. Рассматривается задача: даны две прямые и на каждой отмечено по точке; дана также третья точка, не совпадающая с первыми двумя, и требуется провести через неё прямую так, чтобы она отсекала на заданных прямых отрезки (считая от отмеченных точек), находящиеся в заданном отношении.
  • Отсечение площади в двух книгах, содержащих 124 теоремы.
  • Определенное сечение в двух книгах, содержащих 83 теоремы.
  • Вставки в двух книгах, содержащих 125 теорем.
  • Касания в двух книгах, содержащих 60 теорем. В книге решается знаменитая проблема касания Аполлония: заданы три объекта, каждый из которых может быть точкой, прямой или окружностью. Требуется построить окружность, которая касается всех заданных объектов (для точки вместо касания требуется прохождение через неё).
  • Плоские места в двух книгах, содержащих 147 теорем.

 Из этих сочинений Аполлония сохранилось только первое — в средневековом арабском переводе. Папп написал также (частично дошедшие до нас) комментарии к этим трактатам.
 В других трудах Папп упоминает ещё несколько сочинений Аполлония:

  • Числа. Видимо, отклик на «Исчисление песчинок» Архимеда.
  • О неупорядоченных иррациональностях. Комментарии Паппа к этому труду сохранились только в арабском переводе. Судя по ним, Аполлоний исследует классы иррациональных чисел, не рассмотренные в X книге Начал Евклида.

 Прокл Диадох в Комментарии к I книге Начал Евклида упоминает трактат Аполлония

  • О Винтовых линиях . Предположительно здесь рассматривались спирали на поверхности цилиндра.

 Так называемая XIV книга Начал Евклида, написанная Гипсиклом, представляет собой комментарий к сочинению Аполлония:

  • Сравнение додекаэдра с икосаэдром. Аполлоний доказывает, что поверхности додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, относятся так же, как их объёмы.

 Наконец, Евтокий в комментариях к Измерению круга Архимеда упоминает сочинение Аполлония

  • Быстрое получение результатов . Здесь Аполлоний соревнуется с Архимедом. Он описывает более удобную, чем у Архимеда, систему именования очень больших чисел, а также более быстрый, чем предложенный Архимедом, алгоритм вычисления отношения длины окружности к её диаметру.

 Попытки восстановить утерянные сочинения Аполлония по сохранившимся греческим и арабским упоминаниям предпринимали, кроме Галлея, также Виет (Касания), Ферма (Плоские места) и другие.
 Древнегреческие авторы (например, Клавдий Птолемей в XII книге Альмагеста) упоминали открытия Аполлония в астрономии, однако ни одно его астрономическое сочинение не сохранилось.