Диофант Александрийский

Диофант Александрийский ( ) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.
 Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.
 В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.

Биография


 О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.
 В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:
 \texttt Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень\\\texttt Мудрым искусством его скажет усопшего век.\\\texttt Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком.\\\texttt И половину шестой встретил с пушком на щёках.\\\texttt Только минула седьмая, с подругой он обручился.\\\texttt С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;\\\texttt Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.\\\texttt Отнят он был у отца ранней могилой своей.\\\texttt Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,\\\texttt Тут и увидел предел жизни печальной своей.\\\texttt                      (Перевод С. П. Боброва)
 Она эквивалентна решению следующего уравнения:

x=x6+x12+x7+5+x2+4
  Это уравнение даёт x=84, то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.

Арифметика

Диофанта
 Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.
 Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» и обозначает буквой , квадрат неизвестной — символом (сокращение от  — «степень»), куб неизвестной — символом (сокращение от  — «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.
 Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами (сокращение от  — «равный»).
 Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.
 Большая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.
 Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В VI книге исследуются задачи, относящиеся к прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами.

Влияние Арифметики

на развитие математики
 В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком.
 Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Когда Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта, изданную Баше де Мезириаком, он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы\ldots однако поля книги слишком узки, чтобы его привести». Сейчас это утверждение известно как Великая теорема Ферма.
 В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст ещё четырёх книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что его автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия.

Другие сочинения Диофанта


 Трактат Диофанта О многоугольных числах сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.
 Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей и Об умножении также сохранились лишь отрывки.
 Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.