Евдокс Книдский

Евдокс Книдский (в части источников: Эвдокс, , ок. 408год до н. э. — ок. 355 год до н. э.) — древнегреческий , и .Занимался также врачеванием, философией и музыкой; был известен какоратор и законовед.
 Неоднократно упоминается у античных авторов. Сочинения самого Евдокса донас не дошли, но его математические открытия изложены в «Началах»Евклида. Среди его учеников были Каллипп, Менехм и Динострат.
 Научная школа Евдокса сыграла большую роль в развитии античнойастрономии и математики. Историки науки относят Евдокса к числуосновоположников интегрального исчисления и теоретической астрономии. Вчастности, Евдокс создал теорию геометрических величин (античный аналогвещественных чисел), метод исчерпывания (прообраз анализа криволинейныхфигур) и первую теоретическую модель движения небесных тел,переработанный вариант которой был позднее изложен в «Альмагесте»Птолемея.
 В честь Евдокса названы кратер на Луне и кратер на Марсе.

Биография


 О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде, на юго-западе МалойАзии. Учился медицине у Филистиона в Сицилии, потом математике (упифагорейца Архита в Италии), далее присоединился к школе Платона вАфинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе.Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал тамсобственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии,астрономии и метеорологии.
 Около 368 г. до н. э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины.Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. Диоген Лаэртскийсообщает некоторые подробности: скончался Евдокс на 53-м году жизни,были у него три дочери и сын по имени Аристагор.

Астрономия


 Евдокса можно считать создателем античной теоретической астрономии каксамостоятельной науки. В Кизике им была построена обсерватория, вкоторой впервые в Элладе велись систематические наблюдения за небом.Школа Евдокса выпустила первый в Греции звёздный каталог. Гиппархупоминал названия двух астрономических трудов Евдокса: «Явления» и«Зеркало».
 Евдокс первым решил задачу Платона, предложившего астрономам построитькинематическую модель, в которой видимые движения Солнца, Луны и планетполучались бы как результат комбинации равномерных круговых движений.Модель Евдокса состояла из 27 взаимосвязанных сфер, вращающихся вокругЗемли (теория гомоцентрических сфер). Согласие этой модели снаблюдениями было для того времени неплохим; исключением было движениеМарса, который неравномерно движется по орбите, далёкой от круговой, иеё крайне трудно приблизить равномерным вращением сфер.
 Теорию Евдокса с математической точки зрения усовершенствовал Каллипп, укоторого число сфер возросло до 34. Дальнейшее усовершенствование теориибыло связано с Аристотелем, который разработал механизм передачивращения от наружных сфер к внутренним; при этом число сфер возросло до56. В дальнейшем Гиппарх и Птолемей отказались от теориигомоцентрических сфер в пользу теории эпициклов, которая позволяет болееточно смоделировать неравномерность видимого движения небесных тел.
 Евдокс считал Землю шарообразным телом, ему приписывается одна из первыхоценок длины земного меридиана в 400 000 стадиев или примерно 70 000 км.Евдокс пытался определить сравнительную величину небесных тел. Он знал,что Солнце больше Луны, но ошибочно полагал, что отношение их диаметровравно 9:1. Ему же приписывают определение угла между эклиптикой инебесным экватором, то есть, с современной точки зрения, наклона земнойоси к плоскости земной орбиты, равного 24°. Евдоксу приписывают такжеизобретение горизонтальных солнечных часов.
 Евдокс был знаком с вавилонской астрологией, относился к нейпрезрительно и чётко отделял от астрономии: «не следует доверять ни вмалейшей степени халдеям и их предсказаниям и утверждениям о жизничеловека, основанным на дне его рождения».

Математика


 Евдокс получил фундаментальные результаты в различных областяхматематики. Например, при разработке своей астрономической модели онсущественно продвинул сферическую геометрию. Однако особенно большоезначение имели созданные им две классические теории.

Общая теорияотношений


 Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и ихотношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцыобнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то естьотношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Сталопонятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образомрасширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделалЕвдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала,книга V).
 В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятиегеометрической величины, то есть длины отрезка, площади илиобъёма. С современной точки зрения, число при таком подходе естьотношение двух однородных величин — например, исследуемой иединичного эталона. Этот подход снимает проблему несоизмеримости. Посуществу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модельвещественных чисел. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс осталсяверен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число;из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем зановодоказываются для величин. Признание иррациональностей как особого видачисел произошло много позднее, под влиянием индийских и исламскихматематических школ.
 В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин.Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены двеоперации: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородностьвеличин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиомаАрхимеда: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, еслиони, взятые кратно, могут превзойти друг друга». Сам Архимед приизложении этой аксиомы сослался на Евдокса.
 Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет дляних равенство:
 \beginquoteГоворят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй итретья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременнобольше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократныхвторой и четвёртой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности,если взять их в соответственном порядке.\endquote
 В переводе на современный математический язык это означает, чтоотношения a:b и c:d равны, если для любых натуральных m,n выполняется одно из трёх соотношений:

  • либо ma \textless nb и mc \textless nd;
  • либо ma = nb и mc = nd;
  • либо ma \textgreater nb и mc \textgreater nd.

 Фактически описанное свойство означает, что между a:b и c:dнельзя вставить рациональное число.
 Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность,упорядоченность и т. д.
 Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чиселпоразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между нимиустанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a, b; дробь m/nотнесём к классу A, если ma \textgreater nb, иначе — к классуB. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональныхчисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b:a с этимдедекиндовым числом.
 Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности,и ниоткуда не следует, что всякое сечение Q определяет вещественноечисло.

Методисчерпывания


 Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этогометода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включаетпонятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 годуГрегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было специальногоназвания. Евклид изложил теорию метода исчерпывания в X книге «Начал», ав XII книге применил для доказательства нескольких теорем.
 Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма)некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательностьдругих фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченноприближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся пределпоследовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза,что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит кпротиворечию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегалипонятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственностипредела, повторялись для каждой задачи.
 В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивноепостроение античной математики, однако имел несколько существенныхнедостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, небыло никакого общего метода для вычисления предельного значения A;Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений илипросто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден длянахождения площадей бесконечных фигур.
 С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных вте годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса).
 Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователяЕвдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать ивиртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейскиематематики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытесненсначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем —математическим анализом.