Евклид

Евклид или Эвклид (, от «добрая слава», время расцвета— около 300 года до н. э.) — древнегреческий математик, авторпервого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можносчитать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в3 в. до н. э.
 Евклид — первый математик Александрийской школы. Его главная работа«Начала» (, в латинизированной форме — «Элементы») содержит изложениепланиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёлитог предшествующему развитию Древнегреческой математики и создалфундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений поматематике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабскомпереводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл впроизведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы»,представление о которых можно получить из «Математического собрания»Паппа Александрийского. Евклид — автор работ по астрономии, оптике,музыке и др.

Биография


 К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить тонемногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книгеНачал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» недовели изложение развития этой науки до времени Евклида, Проклуказывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложеАрхимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому чтои Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, вчастности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли болеекороткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил,что нет царского пути к геометрии».
 Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа иСтобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто могхотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук,а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучениюгеометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «Акакая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал:«Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают оПлатоне.
 Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла — Евклид жилво времена Птолемея I Сотера — в том смысле, что Евклид жил при двореПтолемея и был основателем Александрийского Мусейона. Следует, однако,отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке,средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократафилософом Евклидом из Мегар.
 Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там«Начала» Аполлония. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:
 \beginquoteЕвклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный староговремени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родомиз Тира\ldots\endquote
 С именем Евклида также связывают становление александрийской математики(геометрической алгебры), как науки. В целом количество данных о Евклиденастолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная)что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых.

«Начала

»Евклида
 Файл:Euclid Vat ms no 190 I prop47.jpgleftthumb250pxВатиканскийманускрипт, т.1, 38v — 39r. Euclid I prop. 47 (теоремаПифагора)Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако НачалаЕвклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чемдвух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свойучебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано егопредшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.
Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другиекниги предваряются списком определений. Первой книге предпослан такжесписок постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовыепостроения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно былопровести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании свеличинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны междусобой»).
 В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгувенчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников.Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой«геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрияокружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работенад этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями ГиппократаХиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построеннаяЕвдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур.VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; авторомVIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгахрассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях,вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел(известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенныечисла, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге,представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал,строится классификация иррациональностей; возможно, что её авторомявляется Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XIIкниге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношенияхплощадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книгипо общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книгапосвящена построению пяти правильных многогранников; считается, чточасть построений была разработана Теэтетом Афинским.
 В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две.XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XVкнига создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св.Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).
Начала предоставляют общую основу для последующих геометрическихтрактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные вних предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам вантичности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий.Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к Xкниге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторскаятрадиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.
 В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграливажную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата,строго и систематически излагающего основные положения той или инойматематической науки.

Другие произведенияЕвклида


 Файл:Euklid.jpgthumb
 Юстус ван Гент. Евклид, ок. 1474. Урбино
 Теона Александрийского;

  • Деление канона  — трактат по элементарной теории музыки.

Евклид и античнаяфилософия


 Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия иастрономия (так называемые «математические» науки; позже Боэциемназванные квадривием) рассматривались в качестве образцасистематического мышления и предварительной ступени для изученияфилософии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом вплатоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда незнающий геометрии».
 Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линийнеявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения оприпоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах.Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постиженияих истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением,но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею:мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключениясразу для всех фигур одного с ней вида.
 Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в ТимееПлатона рассматривается учение о четырёх элементах, которымсоответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь,октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый жемногогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи сэтим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеминеобходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильныхмногогранников — так называемых «платоновых тел», завершающеесядоказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти,не существует.
 Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второйаналитике, Начала также предоставляют богатый материал.Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, вкоторой все предложения последовательно выводятся одно за другим поцепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятыхбез доказательства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждениядолжны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобыне быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утвержденияобщего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля:«если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в суммеравные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный,а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

Псевдо-Евклид


 Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки:«Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» . Традицияприписывать «Деление канона» Евклиду идёт ещё от Порфирия. В старинныхрукописях «Гармоники» авторство приписывается Евклиду, некоему Клеониду,а также александрийскому математику Паппу. (1555—1625) снабдил«Гармоническое введение» обстоятельными примечаниями, и вместе с«Делением канона» приписал их к трудам Евклида.
 При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, чтопервый написан в аристоксеновской традиции (например, в нём все полутонысчитаются равными), а второй по стилю — явно пифагорейский (например,отрицается возможность деления тона ровно пополам). Стиль изложения«Гармонического введения» отличается догматизмом и непрерывностью, стиль«Деления канона» несколько схож с «Началами» Евклида, поскольку содержиттеоремы и доказательства.
 После критической публикации «Гармоники» знаменитым немецким филологомКарлом Яном (1836—1899) этот трактат стали повсеместно приписыватьКлеониду и датировать II в. н.э. В русском переводе (с комментариями)его впервые издал Г. А. Иванов (Москве, 1894). «Деление канона» нынеодна часть исследователей считает аутентичным сочинением Евклида, адругая — анонимным сочинением в традициях Евклида. Последние повремени русские переводы «Деления канона» опубликованы (в версииПорфирия) В.Г.Цыпиным и (в версии Боэция) С.Н.Лебедевым. Критическоеиздание оригинального текста «Деления канона» выполнил в 1991 г.А.Барбера.