Фибоначчи

Леонардо Пизанский (, , около 1170 года, Пиза — около 1250года, там же) — первый крупный средневековой Европы. Наиболее известенпод прозвищем Фибоначчи.
 Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучалтам математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет,Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных ииндийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знанийФибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собойвыдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд ЛеонардоФибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европепозиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римскаянотация; в этой книге были подробно исследованы возможности примененияиндийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решенияпрактических задач, в частности, связанных с торговым делом. Позиционнаясистема приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения.
 Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним былдан ему позднее, предположительно Гийомом Либри (Guglielmo LibriCarucci dalla Sommaja) в 1838 году. Слово Fibonacci —сокращение от двух слов «filius Bonacci», появившихся на обложке «Книгиабака»; они могли означать либо «сын Боначчо», либо, еслиинтерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи». Согласнотретьей версии, само слово Боначчи нужно тоже понимать как прозвище,означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи; иногда ониспользовал также имя Леонардо Биголло — слово bigollo натосканском наречии значило «странник», а также «бездельник».

Биография


 Фибоначчи родился в итальянском городе Пиза, предположительно в 1170-егоды (в некоторых источниках стоит 1180 год). Его отец, Гильермо, былторговцем. В 1192 году он был назначен представлять пизанскую торговуюколонию в Северной Африке и часто бывал в Беджаи, Алжир. По желаниюотца, который хотел, чтобы Леонардо стал хорошим торговцем, он переехалв Алжир и изучал там математику (искусство вычислений) у арабскихучителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию.
 В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своегопервого труда «Книги абака». В то время в Европе о позиционной системесчисления и арабских цифрах знали очень немногие. В своей книгеФибоначчи всячески поддерживал индийские приёмы вычисления и методы. Пословам историка математики А. П. Юшкевича, «„Книга абака`` резковозвышается над европейской арифметико-алгебраической литературойXII—XIV веков разнообразием и силой методов, богатством задач,доказательностью изложения\ldots Последующие математики широко черпалииз неё как задачи, так и приёмы их решения». По первой книге многиепоколения европейских математиков изучали индийскую позиционную системусчисления.
 Книга заинтересовала императора Фридриха II и его придворных, средикоторых был астролог Микаель Скотус (Michael Scotus), философ ТеодорусФизикус (Theodorus Physicus) и Доминикус Хиспанус (Dominicus Hispanus).Последний предложил, чтобы Леонардо пригласили ко двору в одно изпосещений императором Пизы около 1225 года, где ему задавал задачи ИоганПалермский, ещё один придворный философ Фридриха II. Некоторые из этихзадач появились в последующих работах Фибоначчи. Благодаря хорошемуобразованию Леонардо удалось обратить на себя внимание императораФридриха II во время математических турниров. Впоследствии Леонардопользовался покровительством императора.
 Несколько лет Фибоначчи жил при дворе императора. К этому времениотносится его работа «Книга квадратов», написанная в 1225 году. Книгапосвящена диофантовым уравнениям второй степени и ставит Фибоначчи водин ряд с такими учёными, развивавшими теорию чисел, как Диофант иФерма. Единственное упоминание о Фибоначчи после 1228 года относится к1240 году, когда ему в Пизанской республике была назначена пенсия зазаслуги перед городом.
 Прижизненных портретов Фибоначчи не сохранилось, а существующие являютсясовременными представлениями о нём. Леонардо Пизанский не оставилпрактически никаких автобиографических сведений; единственнымисключением является второй абзац «Книги абака», где Фибоначчи излагаетпричины, побудившие его написать книгу: Когда отцу моему была назначенадолжность таможенного чиновника, заведовавшего в Беджайе деламистекавшихся к нему пизанских торговцев, он в отрочестве моём призвалменя к себе и предложил несколько дней учиться счётному искусству,сулившему немало удобств и выгод для моего будущего. Наученный благодарямастерству учителей основам индийского счёта, я приобрёл большую любовьк этому искусству и заодно узнал, что кое-что об этом предмете известносреди египтян, сирийцев, греков, сицилийцев и провансальцев, развившихсвои методы. Позже, во время торговых путешествий по всем этим краям, япосвятил много труда подробному изучению их методов и, кроме того,овладел искусством научного спора. Однако по сравнению с методоминдийцев все построения этих людей, включая подход алгорисмиков и учениеПифагора, кажутся почти заблуждениями, а потому я решил, изучив какможно внимательнее индийский метод, изложить его в пятнадцати главахнастолько понятно, насколько смогу, с добавлениями от собственногоразума и с кое-какими полезными примечаниями из геометрии Евклида,вставленными по ходу сочинения. Дабы пытливый читатель мог изучитьиндийский счёт наиболее вдумчивым образом, я сопроводил почти каждоеутверждение убедительным доказательством; рассчитываю, что латинскийнарод отныне не будет лишён самых точных сведений об искусствевычислений. Если же, паче чаяния, я пропустил что-то более или менееважное, а может быть, необходимое, то молю о прощении, ибо нет средилюдей никого, кто был бы безгрешен или обладал способностью всёпредвидеть. Однако точный смысл этого абзаца нельзя считать полностьюизвестным, потому что его текст, как и весь латинский текст книги, дошёлдо нас с ошибками, внесёнными переписчиками.

Научнаядеятельность


 Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака»(Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась толькодополненная рукопись 1228 года). Эта книга состоит из 15 глав и содержитпочти все арифметические и алгебраические сведения того времени,изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книгипосвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI иVII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. ВVIII—X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики,основанные на пропорциях. В XI главе рассмотрены задачи на смешение. ВXII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической игеометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в историиматематики, возвратного ряда, приводящего к последовательности такназываемых чисел Фибоначчи. В XIII главе излагается правило двух ложныхположений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIVглаве Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённогоизвлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе собранряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров наквадратные уравнения. Леонардо впервые в Европе использовалотрицательные числа, которые рассматривал как долг. Книга посвященаМикаелю Скотусу.
 Другая книга Фибоначчи, «Практика геометрии» (Practicageometriae, 1220 год), состоит из семи частей и содержит разнообразныетеоремы с доказательствами, относящиеся к измерительным методам. Нарядус классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные —например, первое доказательство того, что три медианы треугольникапересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если егодоказательство и существовало, до нас оно не дошло). Среди землемерныхприёмов, которым посвящён последний раздел книги, — использованиеопределённым образом размеченного квадрата для определения расстояний ивысот. Для определения числа π Фибоначчи использует периметрывписанного и описанного 96-угольника, что приводит его к значению3,1418. Книга была посвящена Доминикусу Хиспанусу. В 1915 годуР. С. Арчибальд занимался восстановлением утерянной работы Евклида оделении фигур, базируясь на «Практике геометрии» Фибоначчи и французскомпереводе арабской версии.
 В трактате «Цветок» (Flos, 1225 год) Фибоначчи исследовалкубическое уравнение x3+2x2+10x=20, предложенное ему ИоанномПалермским на математическом состязании при дворе императора ФридрихаII. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение изтрактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оноприводится как пример одного из видов в классификации кубическихуравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что егокорень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичныхиррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёлприближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное1;22,07,42,33,04,40, не указывая, однако, способа своего решения.
 «Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225 год) содержит рядзадач на решение неопределённых квадратных уравнений. Фибоначчи работалнад поиском чисел, которые, будучи добавленными к квадратному числу,вновь дадут квадратное число. Он отметил, что числа x2+y2 иx2y2 не могут быть квадратными одновременно, а также использовалдля поиска квадратных чисел формулу x2+(2x+1)=(x+1)2. В одной иззадач книги, также первоначально предложенной Иоанном Палермским,требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучиувеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа.
 Среди не дошедших до нас произведений Фибоначчи трактат Di minorguisa по коммерческой арифметике, а также комментарии к книге X «Начал»Евклида.

ЗадачиФибоначчи


 Оставаясь верным математическим турнирам, основную роль в своих книгахФибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям. Задачи на турнирыпредлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философФридриха II Иоган Палермский. Задачи Фибоначчи, как и их аналоги,продолжали использовать в различных математических учебниках несколькостолетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в«Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в«Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768).

Задача о размножениикроликов


 В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов,природа которых такова, что любая пара кроликов производит на светдругую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своегосуществования. Сколько пар кроликов будет через год? (Ответ: 233 пар).Для поиска ответа используется рекуррентная числовая последовательность1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, \ldots (поней составлена отличие в том, что вторая последовательность начинается снуля и единицы, а не с единицы и двойки), в которой каждое последующеечисло равно сумме двух предыдущих; ответом, в соответствии с условиямизадачи, является тринадцатый член (завершение каждого месяца — этоперескок к следующему члену последовательности; текущий членпоследовательности перед началом опыта — это первый; всего месяцевдвенадцать). В честь учёного она носит название чисел Фибоначчи. ЧислаФибоначчи нашли своё применение во многих областях математики. Одним изважных свойств последовательности является тот факт, что пределотношения an+1 к an равен золотому сечению. Наглядноформирование последовательности можно показать следующим образом:
 \texttt1: 1 + 1 = 2\\\texttt2:     1 + 2 = 3\\\texttt3:         2 + 3 = 5\\\texttt4:             3 + 5 = 8\\\texttt5:                 5 + 8 = 13\\\texttt6:                     8 + 13 = 21\\\texttt7:                         13 + 21 = 34\\\texttt8:                              21 + 34 = 55\\\texttt9:                                   34 + 55 = 89\\\texttt...                                           и т. д.

Задачи огирях


 Задача о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весахвпервые была сформулирована именно Фибоначчи. Леонардо Пизанскийпредлагает два варианта задачи:

  • Простой вариант: требуется найти пять гирь, с помощью которых можно найти все веса меньше 30, при этом гири можно класть только на одну чашу весов (Ответ: 1, 2, 4, 8, 16). Решение строится в двоичной системе счисления.
  • Сложный вариант: требуется найти наименьшее число гирь, с помощью которого можно взвесить все веса меньше заданного (Ответ: 1, 3, 9, 27, 81,\ldots). Решение строится в системе счисления по основанию три и в общем случае представляет собой .

Задачи по теориичисел


 Кроме задачи о кроликах, Фибоначчи предлагал ряд других задач по теориичисел:

  • Найти число, которое делится на 7 и даёт в остатке единицу при делении на 2, 3, 4, 5 и 6;
  • Найти число, произведение которого с семёркой даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5 при делении на 2, 3, 4, 5, 6, соответственно;
  • Найти квадратное число (то есть число, равное квадрату целого числа), которое при увеличении или уменьшении на 5 давало бы квадратное число.

Некоторые другиезадачи



  • Найти число, 19/20 которого равно квадрату самого числа. (Ответ: 19/20).
  • Сплав из 30 весовых частей состоит из трёх металлов: первый металл достоинством по три монеты на одну часть, второй металл по две монеты на одну часть, а у третьего металла каждые две части стоят по одной монете; стоимость всего сплава 30 монет. Сколько частей каждого металла содержит сплав? (Ответ: 3 части первого металла, 5 частей второго металла, 22 части третьего). В таких терминах Фибоначчи переформулировал известную задачу о птицах, в которой были использованы те же самые числа (30 птиц трёх разных видов стоят 30 монет, по заданным ценам найти количество птиц каждого вида).
  • «Шуточная задача о семи старухах», которые шли в Рим, и у каждой было по семь мулов, на каждом из которых по семь мешков, в каждом из которых по семь хлебов, в каждом из которых по семь ножей, каждый из которых в семи ножнах. Нужно найти общее число предметов. Эта задача обошла много стран, первое известное упоминание о ней было ещё в Древнем Египте в папирусе Ахмеса. (Ответ: 137 256).

Память


 В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному. Ранее статуя стояла вGiardino Scotto, а после того, как в 1978 году Франк Джонсон нарисовалпортрет Фибоначчи с этой статуи, она была перенесена на кладбищеКампосанто, расположенном в Пизе на Пьяцца деи Мираколи.
 Именем Фибоначчи названы улицы в Пизе (Lungarno Fibonacci) и воФлоренции (Via Fibonacci). Кроме того, имя Фибоначчи носит ассоциацияFibonacci Association и издаваемый ею научный журнал FibonacciQuarterly, посвящённые числам Фибоначчи, проект Евросоюза в сфереобразования, а также другие программы.

РаботыФибоначчи


 При покровительстве императора Леонардо Пизанский написал несколькокниг:

  • «Книга абака» (Liber abaci), 1202 год, дополнена в 1228 году;
  • «Практика геометрии» (Practica geometriae), 1220 год;
  • «Цветок» (Flos) 1225 год;
  • «Книга квадратов» (Liber quadratorum), 1225 год;
  • Di minor guisa, утеряно;
  • Комментарии к книге X «Начал» Евклида, утеряно;
  • Письмо Теодорусу, 1225 год.