Мадхава Сангамаграмы

Это статья об астрономе и математике Мадхаве. Об индуистском святом см. Мадхава Гхош.
Мадхава из Сангамаграмы — средневековый индийский и XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики. Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город \} в штате Керала, южная Индия.
 Мадхава первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды; эти исследования продолжили Нилаканта Сомаяджи и другие учёные керальской школы. Другие исследования Мадхавы относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии.

Научная деятельность


 Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.

Разложение тригонометрических функций


 Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).
РядПояснениеКогда и кем открыт в Европе
1sinx=xx33!+x55!x77!+Ряд для синусаИсаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
2cosx=1x22!+x44!x66!+Ряд для косинусаИсаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
3arctgx=xx33+x55x77+Ряд для арктангенсаДжеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)
4π4=113+1517+Ряд для числа πДжеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)

 Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов. Ещё один ряд, приведенный в труде со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса:

θ=tgθtg3θ3+tg5θ5tg7θ7+

Значение числа π


 Расчёт значения числа π по приведенной выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке. В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:

π=12(1133+15321733+)
  Сумма первых 21 слагаемых даёт значение 3,14159265359, все знаки, исключая последний, верны.
 Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: π=3,14159265358979324 (верны все знаки, кроме последнего)

Труды


 Как уже говорилось выше, точно неизвестно, какие из дошедших до нас трудов керальских учёных принадлежат Мадхаве. Историк К. В. Сарма приводит следующий список:

  1. Голавада
  2. Мадхьяманаянапракара
  3. Махаджьянаянапракара
  4. Лагнапракарана (लग्नप्रकरण)
  5. Венвароха (वेण्वारोह)
  6. Спхутакандрапти (स्फुटचन्द्राप्ति)
  7. Аганита-грахакара (अगणित-ग्रहचार)
  8. Чандравакьяс (चन्द्रवाक्यानि)