Гаусс Карл Фридрих

Иоганн Карл Фридрих Гаусс ( ,  — , ) — немецкий , , , игеодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён,«королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный членШведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английскогоКоролевского общества.

Биография


1777—1798 годы


 Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком,смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрастемальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать,даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учительматематики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитатьсумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы спротивоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., имгновенно получил результат: 50×101=5050. До самой старости онпривык большую часть вычислений производить в уме.
 С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского)оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать емустипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу закончитьколледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792—1795).
 Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой,но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительнуючасть своих трудов написал на латыни; любил английскую и французскуюлитературу, которые читал в подлиннике. В возрасте 62 лет Гаусс начализучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, ивполне преуспел в этом деле.
 В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там онсделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал законвзаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейшийзакон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось.Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимооткрытый Лежандром) и начал исследования в области «нормальногораспределения ошибок».
 С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете, где егоучителем был А. Г. Кестнер. Это — наиболее плодотворный период в жизниГаусса.
 1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля илинейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешилпроблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерийвозможности построения правильного n-угольника с помощью циркуляи линейки: если n — простое число, то оно должно быть видаn=22k+1 (числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил изавещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный вкруг.
 С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он,подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительнойважности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своимдрузьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволени считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позжевоскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы онтоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»).
 Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительныерезультаты, сырых и проходных работ не было ни одной.
 1798 год: закончен шедевр «Арифметические исследования» ,напечатан только в 1801 году.
 В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных(введённых им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка,глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицыиспользуются для построения правильных n-угольников, изложены свойстваквадратичных вычетов, приведено доказательство квадратичного законавзаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика — царица наук,а теория чисел — царица математики.

1798—1816 годы


 Файл:Braunschweig Brunswick Gauss-Denkmal komplett(2006).JPGthumbПамятник Гауссу работы Фрица Шапера вБрауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой 1798 году Гауссвернулся в Брауншвейг и жил там до 1807 года.
 Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать егодокторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своейдокторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры. До Гауссабыло много попыток это сделать, наиболее близко к цели подошёлД'Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4различных её доказательства.
 С 1799 года Гаусс — приват-доцент Брауншвейгского университета.
 1801 год: избирается членом-корреспондентом Петербургской Академии наук.
 После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своихинтересов, включив в него и естественные науки. Катализатором послужилооткрытие малой планеты Церера (1801), потерянной вскоре послеобнаружения. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшиевычисления, пользуясь разработанным им же новым вычислительным методом,и с большой точностью указал место, где искать «беглянку»; там она, кобщему восторгу, и была вскоре обнаружена.
 Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европыизбирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает пособие, а интересГаусса к астрономии ещё более возрастает.
 1805 год: Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое детей.
 1806 год: от раны, полученной на войне с Наполеоном, умирает еговеликодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашаютГаусса на службу (в том числе в Петербург). По рекомендации Александрафон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директоромГёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.
 1807 год: наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все гражданеоблагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков —требуется заплатить Гауссу. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему напомощь, но Гаусс отклоняет их деньги; тогда неизвестный из Франкфуртаприсылает ему 1000 гульденов, и этот дар приходится принять. Толькомного позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте.
 1809 год: новый шедевр, «Теория движения небесных тел».Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит.
 Как раз в четвёртую годовщину свадьбы умирает Иоганна, вскоре послерождения третьего ребёнка. В Германии разруха и анархия. Это самыетяжёлые годы для Гаусса.
 1810 год: новая женитьба — на Минне Вальдек, подруге Иоганны. Числодетей Гаусса вскоре увеличивается до шести.
 1810 год: новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук изолотую медаль Лондонского королевского общества.
 1811 год: появляется новая комета. Гаусс быстро и очень точнорассчитывает её орбиту. Начинает работу над комплексным анализом,открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрытую Коши иВейерштрассом: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуруравен нулю.
 1812 год: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложениепрактически всех известных тогда функций.
 Знаменитую комету «пожара Москвы» (1812) всюду наблюдают, пользуясьвычислениями Гаусса.
 1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремыалгебры.

1816—1855 годы


 1820 год: Гауссу поручают произвести геодезическую съёмку Ганновера. Дляэтого он разработал соответствующие вычислительные методы (в том числеметодику практического применения своего метода наименьших квадратов),приведшие к созданию нового научного направления — высшей геодезии, иорганизовал съёмку местности и составление карт.
 1821 год: в связи с работами по геодезии Гаусс начинает историческийцикл работ по теории поверхностей. В науку входит понятие «гауссовойкривизны». Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результатыГаусса вдохновили Римана на написание его классической диссертации о«римановой геометрии».
 Итогом изысканий Гаусса была работа «Исследования относительнокривых поверхностей» (1822). В ней свободно использовались общиекриволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил методконформного отображения, которое в картографии сохраняет углы (ноискажает расстояния); оно применяется также в аэро-, гидродинамике иэлектростатике.
 1824 год: избирается иностранным почётным членом Петербургской Академиинаук.
 1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для нихтеорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравненийвысоких степеней.
 1829 год: в замечательной работе «Об одном новом общем законемеханики», состоящей всего из четырёх страниц, Гаусс обосновывает новыйвариационный принцип механики — принцип наименьшего принуждения.Принцип применим к механическим системам с идеальными связями исформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек,связанных между собой произвольным образом и подверженных любымвлияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какоетолько возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки,если бы все они стали свободными, то есть происходит с наименьшимвозможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого втечение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массыкаждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения,которое она заняла бы, если бы была свободной».
 1831 год: умирает вторая жена, у Гаусса начинается тяжелейшаябессонница. В Гёттинген приезжает приглашённый по инициативе Гаусса27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер, с которым Гаусспознакомился в 1828 году, в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста наукисдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследованийэлектромагнетизма.
 1832 год: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех жецелых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметическиетеоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь жеГаусс приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая сэтого момента становится общепринятой.
 1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером)строит его действующую модель.
 1837 год: Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королюГанновера. Гаусс вновь остаётся в одиночестве.
 1839 год: 62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах вПетербургскую Академию просил прислать ему русские журналы и книги, вчастности «Капитанскую дочку» Пушкина. Предполагают, что это связано синтересом Гаусса к работам Лобачевского, который в 1842 году порекомендации Гаусса был избран иностранным членом-корреспондентомГёттингенского королевского общества.
 В том же 1839 году Гаусс в сочинении «Общая теория силпритяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадратурасстояния» изложил основы теории потенциала, включая рядосновополагающих положений и теорем — например, основную теоремуэлектростатики (теорема Гаусса).
 1840 год: в работе «Диоптрические исследования» Гауссразработал теорию построения изображений в сложных оптических системах.
 Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.

Научнаядеятельность


 С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всехосновных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальнойи неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функцийкомплексного переменного, теории вероятностей, а также в аналитической инебесной механике, астрономии, физике и геодезии. «В каждой областиглубина проникновения в материал, смелость мысли и значительностьрезультата были поражающими. Гаусса называли „королём математиков``» .
 Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда непубликовал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этойтемой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево снесколькими плодами, под девизом: «Pauca sed matura»(немного, но спелые). Изучение архива Гаусса показало, что онмедлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередилидругие математики. Вот неполный перечень упущенных им приоритетов.

  • Неевклидова геометрия, где его опередили Лобачевский и Бойяи.
  • Эллиптические функции, где он также далеко продвинулся, но не успел ничего напечатать, а после работ Якоби и Абеля надобность в публикации отпала.
  • Содержательный набросок теории кватернионов, 20 лет спустя независимо открытых Гамильтоном.
  • Метод наименьших квадратов, переоткрытый позднее Лежандром.
  • Закон распределения простых чисел, с которым его также опередила публикация Лежандра.

 Несколько студентов, учеников Гаусса, стали выдающимися математиками,например: Риман, Дедекинд, Бессель, Мёбиус.

Алгебра


 Гаусс дал первые строгие, даже по современным критериям, доказательстваосновной теоремы алгебры.
 Он открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, создал для нихтеорию делимости и с их помощью решил немало алгебраических проблем.Указал знакомую теперь всем геометрическую модель комплексных чисел идействий с ними.
 Гаусс дал классическую теорию сравнений, открыл конечное поле вычетов попростому модулю, глубоко проник в свойства вычетов.

Геометрия


 Гаусс впервые начал изучать внутреннюю геометрию поверхностей. Оноткрыл характеристику поверхности (гауссову кривизну), которая неизменяется при изгибаниях, тем самым заложив основы римановой геометрии.В 1827 году опубликовал полную теорию поверхностей. Доказал TheoremaEgregium — основную теорему теории поверхностей. Труды Гаусса подифференциальной геометрии дали мощный толчок развитию этой науки навесь XIX век. Попутно он создал новую науку — высшую геодезию.
 Гаусс первым (по некоторым данным, примерно в 1818 году) построил основынеевклидовой геометрии и поверил в её возможную реальность. Однако завсю свою жизнь он ничего не опубликовал на эту тему, вероятно, опасаясьбыть непонятым из-за того, что развиваемые им идеи шли вразрез сдогматом евклидовости пространства в доминирующей в то время кантовскойфилософии). Тем не менее, сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому, вкотором ясно выражено его чувство солидарности, а в личных письмах,опубликованных после его смерти, Гаусс восхищается работамиЛобачевского. В 1817 году он писал астроному В. Ольберсу:
 \beginquoteЯ прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии неможет быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и длячеловеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придём к взглядамна природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих поргеометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующейчисто a priori, а скорее с механикой.\endquote
 В его бумагах обнаружены содержательные заметки по тому предмету, чтопозже назвали топологией. Причём он предсказал фундаментальное значениеэтого предмета.
 Древняя проблема построения правильных многоугольников с помощью циркуляи линейки была решена Гауссом окончательно (см. теорему Гаусса —Ванцеля).

Математическийанализ


 Гаусс продвинул теорию специальных функций, рядов, численные методы,решение задач математической физики. Создал математическую теориюпотенциала.
 Много и успешно занимался эллиптическими функциями, хотя почему-тоничего не публиковал на эту тему.

Аналитическаямеханика


 Главным вкладом Гаусса в аналитическую механику стал его принципнаименьшего принуждения. Для аналитического оформления данного принципабольшое значение имела работа Г. Шеффлера (1820—1903) «ОГауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В нейШеффлер переопределил принуждение как следующее (в современныхобозначениях) выражение:

Z=12i=1Nmi(wiFimi)2 ,
 где  N — число точек, входящих в систему, mi — масса i-йточки, Fi — равнодействующая приложенных к ней активныхсил, wi — допустимое ускорение данной точки (вдействительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причёммножитель перед знаком суммы у него отсутствовал). Под «допустимымиускорениями» здесь понимаются такие ускорения точек системы, которые вданном её состоянии можно реализовать, не нарушая связей;действительные ускорения (возникающие под действием реальноприложенных к точкам системы сил) представляют собой частный случайдопустимых ускорений.
 После этого принцип Гаусса обрёл ту форму, которая используется при егоизложении и в современных курсах теоретической механики: «Придействительном движении механической системы с идеальными связямипринуждение Z принимает значение, наименьшее из всех возможныхзначений при движениях, совместимых с наложенными связями». Данныйпринцип относится к числу дифференциальных вариационных принциповмеханики. Он обладает весьма большой общностью, так как применим к самымразличным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, кголономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется вкачестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономныхсистем.

Астрономия


 В астрономии Гаусс, в первую очередь, интересовался небесной механикой,изучал орбиты малых планет и их возмущения. Он предложил теорию учётавозмущений и неоднократно доказывал на практике её эффективность.
 В 1809 году Гаусс нашёл способ определения элементов орбиты по трёмполным наблюдениям (если для трёх измерений известны время, прямоевосхождение и склонение).

Другиедостижения


 Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс использовал свой методнаименьших квадратов, который сейчас повсеместно применяется встатистике. Хотя Гаусс не первый открыл распространённый в природенормальный закон распределения, но он настолько тщательно егоисследовал, что график распределения с тех пор часто называютгауссианой.
 В физике Гаусс развил теорию капиллярности, теорию системы линз. Заложилосновы математической теории электромагнетизма и при этом первым ввёлпонятие потенциала электрического поля, а в 1845 г. пришёл к мысли оконечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий. В1832 г. создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы:единицу длины — 1 мм, единицу времени — 1 с, единицу массы — 1 мг;эта система послужила прообразом системы единиц СГС. Совместно с ВеберомГаусс построил первый в Германии электромагнитный телеграф. Изучаяземной магнетизм, Гаусс изобрёл в 1837 г. униполярный магнитометр, в1838 г. — бифилярный.

Увековечениепамяти


 В честь Гаусса названы:

  • кратер на Луне;
  • малая планета № 1001 (Gaussia);
  • Гаусс — единица измерения магнитной индукции в системе СГС; сама эта система единиц часто именуется гауссовой;
  • одна из фундаментальных астрономических постоянных — постоянная Гаусса;
  • вулкан Гауссберг в Антарктиде;
  • его портрет и изобретённый им измерительный инструмент «» изображены на вышедшей из оборота, но предоставляющей интерес для бонистов банкноте в 10 марок.

 С именем Гаусса связано множество теорем и научных терминов вматематике, астрономии и физике, некоторые из них:

  • Алгоритм Гаусса вычисления даты Пасхи
  • Гауссова кривизна
  • Гауссовы целые числа
  • Гипергеометрическая функция Гаусса
  • Интерполяционная формула Гаусса
  • Квадратурная формула Гаусса — Лагерра
  • Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
  • Метод Гаусса — Жордана

  • Метод Гаусса (численное интегрирование)
  • Нормальное распределение, или распределение Гаусса
  • Отображение Гаусса
  • Признак Гаусса
  • Проекция Гаусса — Крюгера
  • Прямая Гаусса
  • Пушка Гаусса
  • Ряд Гаусса
  • Система единиц Гаусса для измерения электромагнитных величин.
  • Теорема Гаусса — Ванцеля о построении правильных многоугольников и числах Ферма.
  • Теорема Гаусса — Остроградского в векторном анализе.
  • Теорема Гаусса — Лукаса о корнях комплексного многочлена.
  • Формула Гаусса — Бонне о гауссовой кривизне.

В литературе икино


 Жизни Гаусса и Александра фон Гумбольдта посвящён фильм «Измеряя мир»(«Die Vermessung der Welt», 2012, Германия). Фильм снят поодноимённому роману писателя Даниэля Кельмана.

Переводы трудов на русскийязык



  издание=Историко-математические исследованияномер=21издательство=Наукаместо=М.год=1976страницы=285—291\}\}

  • Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Перевод Б. Б. Демьянова, общая редакция И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. — : Изд-во АН СССР, 1959.