Кантор Георг

Георг Кантор (, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января1918, Галле (Заале)) — немецкий математик. Он наиболее известен каксоздатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементамимножеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множестви доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. ТеоремаКантора, фактически, утверждает существование «бесконечностибесконечностей». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел иих арифметику. Его работа представляет большой философский интерес, очём и сам Кантор прекрасно знал.
 Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринятанастолько нелогичной, парадоксальной и даже шокирующей, что натолкнуласьна резкую критику со стороны математиков-современников, в частности,Леопольда Кронекера и Анри Пуанкаре; позднее — Германа Вейля иЛёйтзена Брауэра, а Людвиг Витгенштейн высказал возражения философскогоплана (см. Споры о теории Кантора). Некоторые христианские богословы(особенно представители неотомизма) увидели в работе Кантора вызовуникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однаждытеорию трансфинитных чисел и пантеизм. Критика его трудов была поройочень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью»,поражающей математическую науку; а в публичных заявлениях и личныхвыпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как«научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи». Десятилетияспустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, чтоматематика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теориимножеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и«ошибочное». Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца днейКантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину егосовременникам, занявшим чересчур агрессивную позицию, но сейчассчитается, что эти приступы, возможно, были проявлением биполярногорасстройства.
 Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904году Лондонское королевское общество наградило Кантора МедальюСильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать. Сам Канторверил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. Всвоё время, защищая её от критики, Давид Гильберт смело заявил: «Никтоне изгонит нас из рая, который основал Кантор».

Биография


Юные годы иучёба


 Файл:Blackboard Georg Cantor (11-line V O building24).jpgthumbМемориальная доска на доме № 24 11-йлинии Васильевского острова.Западной колонии торговцев вСанкт-Петербурге и рос там до одиннадцатилетнего возраста. Отец —Георг-Вольдемар Кантор (ок. 1813, Копенгаген — 1863, Франкфурт) —происходил из осевших в Амстердаме португальских евреев и был датскимподданным; мать — Мария-Анна Бём (1819, Санкт-Петербург — 1896,Берлин) — племянница известного венгерско-российского скрипача ИосифаБёма. Дед математика, Франц Бём (1788—1846), тоже был скрипачом. Георгбыл старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовавот своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты.Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда онзаболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 годупереехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт.
 В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте;учителя отмечали его исключительные способности к математике, вчастности, к тригонометрии. В 1862 году поступил в Федеральныйполитехнический институт в Цюрихе. Через год умер его отец; получивсолидное наследство, Георг перевёлся в Берлинский университет имениГумбольдта, где начал посещать лекции таких знаменитых учёных, какЛеопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года онпровёл в Гёттингенском университете — крупнейшего центраматематической мысли тех времён. В 1867 году Берлинский университетприсвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел«De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

Учёный иисследователь


 После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинскойшколе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университетеМартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. Необходимую дляпреподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел.
 В 1874 году Кантор женился на Валли Гутман (Vally Guttmann). Уних было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря наскромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечитьсемье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. Впродолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много временипроводил за математическими беседами с Рихардом Дедекиндом, с которымзавязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска в Швейцарии.
 Кантор получил звание внештатного профессора в 1872 году, а в 1879 годустал полным профессором. Получить это звание в 34 года было большимдостижением, но Кантор мечтал о должности в более престижномуниверситете, например, Берлинском — в то время ведущем университетеГермании, однако его теории встречают серьёзную критику, и переход вдругое место осуществить не удалось. В частности, Кронекер,возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, был не ввосторге от перспективы получить такого коллегу, как Кантор, воспринимаяего как «развратителя молодёжи», наполнявшего своими идеями головымолодого поколения математиков. Более того, Кронекер, будучи заметнойфигурой в математическом сообществе и бывшим учителем Кантора, был вкорне не согласен с содержанием теорий последнего. Кронекер, считающийсяпредтечей конструктивной математики, с неприязнью относился кканторовской теории множеств, поскольку в той обыкновенны утверждения осуществовании объектов, удовлетворяющих неким свойствам, без построенияконкретных примеров. Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит емудаже уйти из Галльского университета.
 В 1881 году умер коллега Кантора Эдуард Гейне, оставив после себявакантную должность. Руководство университета приняло предложениеКантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера илиФранца Мертенца (именно в таком порядке), но все они отказались. В итогепост занял Фридрих Вангерин, однако он никогда не был другом Кантора.
 В 1882 году научная переписка с Дедекиндом оборвалась, вероятно, какследствие отказа последнего от должности в Галле. В то же время Канторначал активную переписку с другим ключевым математиком того времени —Гёстой Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и вскоре начал публиковаться вего журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёрвстревожился относительно философского подтекста и новой терминологии водной статье, присланной ему Кантором для печати и попросил Кантораотозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что этастатья «опередила время примерно лет на сто». Отозвать статьюКантор согласился, но больше в Acta Mathematica не публиковался, и резкооборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером.
 Первый известный приступ депрессии Кантор испытал в 1884 году. Критикаего работ тяготила его разум: каждое из 52 писем, которые он написалМаттаг-Леффлеру в 1884 году, подверглось атаке Кронекера . В результатекритики Кантор отказывается от математических исследований иограничивается лишь чтением лекций, отмечая утрату «душевной свежести».Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес отматематики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Канторстал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; онпытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самомделе написал Фрэнсис Бэкон (разрабатывая так называемый шекспировскийвопрос); результаты по этой работе в конце концов были опубликованы вдвух проспектах 1896 и 1897 годов.
 Вскоре после этого Кантор восстановился, и сразу же сделал нескольковажных дополнений к своей теории, в частности, доказал диагональнымметодом несчётность множества всех подмножеств натуральных чисел, однакотак и не достиг того же высокого уровня продуктивности, какой у него былв 1874—1884 годах. В конце концов он обратился с предложением о мире кКронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие ихфилософские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось,что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёсткимнеприятием его работ со стороны Кронекера, впоследствии в качествеосновной причины сбоев стала считаться болезнь —маниакально-депрессивный психоз.
 В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математическогообщества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателемна его первом съезде в Галле в 1891 году; в то время его репутация былавесьма устойчива даже несмотря на оппозицию Кронекера, в итоге Канторбыл избран первым президентом общества. Кантор пригласил Кронекеравыступить с докладом, но тот не смог принять предложение по причинесмерти супруги.

Объекты, названные в честьКантора



  • Канторово множество — континуальное множество нулевой меры на отрезке;
  • Функция Кантора (Канторова лестница);
  • Нумерующая функция Кантора — отображение декартовой степени множества натуральных чисел в само себя;
  • Теорема Кантора (см. также Теорема Кантора (значения)) о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности самого множества;
  • Теорема Кантора — Бернштейна о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A;
  • Теорема Кантора — Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте;
  • Теорема Кантора — Бендиксона
  • Медаль Кантора — математическая награда, вручаемая Немецким математическим обществом;
  • а также другие математические объекты.
  • Кантор — ударный кратер на обратной стороне Луны.

Сочинения