Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Эйлер Леонард

Леонард Эйлер ( , , Швейцария — , , Российская империя) —швейцарский, немецкий и российский и , внёсший фундаментальный вклад вразвитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук).Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальныхмонографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии,теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике,математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теориимузыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику,воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков.Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельскойакадемий наук, иностранный член Парижской академии наук.
 Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад встановление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать вСанкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741, а также с1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначалаадъюнктом, а с 1731 года — профессором ); в 1741—1766 годах работалв Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургскойакадемии). Уже через год пребывания в России он хорошо знал русский языки часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы(С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков досих пор живут в России.

Биография


Швейцария(1707—1727)


 Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора ПауляЭйлера, друга семьи Бернулли, и Маргариты Эйлер, урождённой Брукер.Вскоре после рождения Леонарда семья переехала в селение Рихен (в часеходьбы от Базеля), куда Пауль Эйлер был назначен пастором; там и прошлипервые годы детства мальчика. Начальное обучение Леонард получил домапод руководством отца (тот в своё время учился математике у ЯкобаБернулли). Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однакозанимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и дляразвития логического мышления, и Леонард рано проявил математическиеспособности.
 Когда Леонард подрос, его перевезли к бабушке в Базель, где он учился вгимназии (продолжая при этом увлечённо изучать математику). В 1720 годуспособного гимназиста допустили к посещению публичных лекций вБазельском университете; там он обратил на себя внимание профессораИоганна Бернулли (младшего брата Якоба Бернулли). Знаменитый учёныйпередал одарённому подростку для изучения математические статьи,разрешив при этом для прояснения трудных мест приходить к нему домой посубботам после обеда.
 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультетаискусств Базельского университета. Но любовь к математике направилаЛеонарда по иному пути. Посещая дом своего учителя, Эйлер познакомился иподружился с его сыновьями — Даниилом и Николаем, которые также, посемейной традиции, глубоко изучали математику. В 1723 году Эйлер получил(по существовавшему в Базельском университете обычаю) первую награду(primam lauream). 8 июля 1724 года 17-летний Леонард Эйлерпроизнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта иНьютона и был удостоен учёной степени магистра искусств.
 В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Однаиз них, «Диссертация по физике о звуке», была представлена на конкурсдля замещения неожиданно освободившейся в Базельском университетедолжности профессора физики (1725). Но, несмотря на положительный отзыв,19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатовна профессорскую кафедру. Надо отметить, что число научных вакансий вШвейцарии было совсем невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернуллиуехали в Россию, где как раз шла организация Академии наук; они обещалипохлопотать там и о должности для Эйлера.
 В начале зимы 1726—1727 гг. Эйлер получил известие изСанкт-Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён надолжность адъюнкта (помощника профессора) по кафедре физиологии (этукафедру занимал Д. Бернулли) с годовым жалованьем 200 рублей(сохранилось письмо Эйлера президенту Академии Л. Л. Блюментросту от 9ноября 1726 г. с благодарностью за принятие в Академию). ПосколькуИоганн Бернулли был известным врачом, то в России считали, что ЛеонардЭйлер как его лучший ученик — тоже врач. Свой отъезд из Базеля Эйлеротложил, однако, до весны, посвятив оставшиеся месяцы серьёзномуизучению медицинских наук, глубоким знанием которых он впоследствиипоражал своих современников. Наконец, 5 апреля 1727 года Эйлер навсегдапокинул Швейцарию, хотя швейцарское (базельское) подданство сохранил доконца жизни.

Россия(1727—1741)


 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской академии. годавышел указ Сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов,приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занималисьтакже механикой, физикой, астрономией, картографией, теориейкораблестроения, службой мер и весов.
 Эйлер (путь которого из Базеля лежал через Любек, Ревель и Кронштадт)прибыл в Санкт-Петербург 24 мая 1727 года; за несколько дней до этогоумерла императрица Екатерина I, покровительница Академии, и учёныепребывали в унынии и растерянности. Эйлеру помогли, однако, освоиться нановом месте земляки-базельцы: академики Даниил Бернулли и Якоб Герман;последний, являвшийся профессором по кафедре высшей математики,доводился молодому учёному дальним родственником и оказывал емувсевозможное покровительство. Эйлера сделали адъюнктом высшей математики(а не физиологии, как первоначально планировалось), хотя он в Петербургепроводил исследования в области гидродинамики биологических жидкостей,выделили ему жалованье 300 рублей в год и предоставили казённуюквартиру. Ко всеобщему удивлению, он уже в следующем по приезде годустал бегло говорить по-русски.
 В 1728 году началась публикация первого русского научного журнала«Комментарии Петербургской Академии наук» (на латинском языке). Ужевторой том содержал три статьи Эйлера, и в последующие годы практическикаждый выпуск академического ежегодника включал несколько новых егоработ. Всего в этом издании было опубликовано более 400 статей Эйлера.
 В сентябре 1730 года закончился срок контрактов, заключённых сакадемиками Я. Германом и Г. Б. Бильфингером (последний был профессоромпо кафедре экспериментальной и теоретической физики). Их кафедрывозглавили соответственно Даниил Бернулли и Леонард Эйлер; последнийполучил увеличение жалованья до 400 рублей, а 22 января 1731 года — иофициальную должность профессора. Ещё через два года (1733) ДаниилБернулли вернулся в Швейцарию, и Эйлер, оставив кафедру физики, занялего кафедру, став академиком и профессором высшей математики с окладом600 рублей (впрочем, Даниил Бернулли получал вдвое больше).
 27 декабря 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровесницеКатарине , дочери академического живописца Георга Гзеля(петербургского швейцарца). Молодожёны приобрели дом на набережной Невы,где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2дочери.
 Работы у молодого профессора было много: картография, всевозможныеэкспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов,составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д.От него даже требовали составления гороскопов, каковой заказ Эйлер совсем возможным тактом переадресовал штатному астроному. А. С. Пушкинприводит романтический рассказ: якобы Эйлер составил гороскоп дляноворождённого Иоанна Антоновича (1740), но результат его настолькоиспугал, что он никому не стал его показывать и лишь после смертинесчастного царевича рассказал о нём графу К. Г. Разумовскому.Достоверность этого исторического анекдота крайне сомнительна.
 За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научныхработ. Значительная часть академических «Записок» заполнена трудамиЭйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции,участвовал в выполнении различных технических заказов правительственныхведомств. В течение 1730-х годов Эйлер возглавлял работу покартографированию Российской империи, которая (уже после отъезда Эйлера,в 1745 году) завершилась изданием атласа территории страны. Какрассказывал Н. И. Фусс, в 1735 году Академия получила задание выполнитьсрочное и очень громоздкое математическое вычисление, причём группаакадемиков просила на это три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за3 дня — и справился самостоятельно; однако перенапряжение не прошлобесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Впрочем, самЭйлер в одном из своих писем приписывал потерю глаза своей работе посоставлению карт в географическом департаменте при Академии.
 Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, изложеннаяаналитически», изданное в 1736 году, принесло Эйлеру общеевропейскуюизвестность. В этой монографии Эйлер с успехом применил методыматематического анализа к общему решению проблем движения в пустоте и всопротивляющейся среде.
 Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров,для чего при Академии были созданы университет и гимназия. В силу остройнехватки учебников на русском языке Академия обратилась к своим членам спросьбой составить такие руководства. Эйлер составил на немецком языкеочень добротное «Руководство к арифметике», которое тут же былопереведено на русский и служило не один год в качестве начальногоучебника. Перевод первой части выполнил в 1740 году первый русскийадъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров.
 Обстановка ухудшилась, когда в 1740 году умерла императрица АннаИоанновна, и императором был объявлен малолетний Иоанн VI. «Предвиделосьнечто опасное, — писал позднее Эйлер в автобиографии. — Послекончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогдарегентстве\ldots положение начало представляться неуверенным». В самомделе, в регентство Анны Леопольдовны Петербургская академия окончательнопришла в запустение. Эйлер стал обдумывать вариант возврата на родинуили переезда в иную страну. В конце концов он принял предложениепрусского короля Фридриха, который приглашал его на весьма выгодныхусловиях в Берлинскую академию, на должность директора еёМатематического департамента. Академия создавалась на базе прусскогоКоролевского общества, основанного ещё Лейбницем, но в те годынаходившегося в удручающем состоянии.

Пруссия(1741—1766)


 Эйлер подал руководству Петербургской академии прошение об отставке:
Письмо к Вам г. Эйлера доставило мне большое удовольствие, потому что яузнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, янахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президентаАкадемии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем яустановлю это звание — говорю установлю, так как доныне его несуществовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, ядобавлю к академическому жалованию из государственных доходов, чтовместе составит требуемые 3000 рублей\ldots Я уверена, что мояАкадемия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранеепоздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека.

 Позже Эйлер выдвинул ещё ряд условий (ежегодная пенсия в 1000 рублейжене после его смерти, компенсация путевых издержек, место длясына-медика и чин для самого Эйлера). Екатерина удовлетворила и этиусловия Эйлера за исключением требования о чине, отшутившись: «Я дала быему, когда он хочет, чин\ldots (в черновике письма на французскомзачеркнуто — коллежского советника), если бы не опасалась, что этотчин сравняет его со множеством людей, которые не стоят г. Эйлера.Поистине, его известность лучше чина для оказания ему должногоуважения».
 Эйлер подал королю прошение об увольнении со службы, но никакого ответане получил. Подал повторно — но Фридрих не желал даже обсуждать вопросо его отъезде. Решающую поддержку Эйлеру оказали настойчивые ходатайствароссийского представительства от имени императрицы. 2 мая 1766 годаФридрих наконец-то разрешил великому учёному покинуть Пруссию, неудержавшись, впрочем, в своей переписке от злобных острот в адрес Эйлера(так, 25 июля он писал Даламберу: «Господин Эйлер, до безумия любящийБольшую и Малую Медведицу, приблизился к северу для большего удобства кнаблюдению их»). Правда, служившего подполковником артиллерииКристофа — младшего сына Эйлера — король наотрез отказался отпуститьиз армии позднее, благодаря заступничеству Екатерины II, тот всё же смогприсоединиться к отцу и дослужился в русской армии догенерал-лейтенанта. Летом 1766 года Эйлер вернулся в Россию — теперьуже навсегда.

Снова Россия(1766—1783)


 Файл:Saint Petersburg Kunstkamera view from thefront.jpgthumb280px
 Здание Петербургской Академии наук во второй половине XVIII века(Кунсткамера)
 Екатерина II встретила его как августейшую особу и осыпала милостями:пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и наприобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своихповаров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.
 К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образоваласькатаракта левого глаза — он перестал видеть. Вероятно, по этой причинеобещанный пост вице-президента Академии он так и не получил (что непомешало Эйлеру и его потомкам в течение почти ста лет участвовать вуправлении Академией). Однако слепота не отразилась на работоспособностиучёного, он лишь заметил, что теперь будет меньше отвлекаться от занятийматематикой. До обретения секретаря Эйлер диктовал свои трудымальчику-портному, который всё записывал по-немецки. Числоопубликованных им работ даже возросло; в течение второго пребывания вРоссии Эйлер продиктовал более 400 статей и 10 книг, что составляетбольше половины его творческого наследия.
 В 1768—1770 годах вышла в свет двухтомная классическая монография«Универсальная арифметика» (издавалась также под названиями «Началаалгебры» и «Полный курс алгебры»). Вначале этот труд был опубликован нарусском языке (1768—1769), издание на немецком вышло два года спустя.Книга была переведена на многие языки и переиздавалась около 30 раз(трижды — на русском). Все последующие учебники алгебры создавалисьпод сильнейшим влиянием книги Эйлера.
 В эти же годы вышли трёхтомник «Диоптрика» (, 1769—1771) о линзовыхсистемах и фундаментальное «Интегральное исчисление» (, 1768—1770),тоже в 3 томах.
 Огромную популярность приобрели в XVIII веке, а отчасти и в XIX,эйлеровские «Письма о разных физических и философических материях,написанные к некоторой немецкой принцессе\ldots» (1768), которыевыдержали свыше 40 изданий на 10 языках (в том числе 4 издания нарусском). Это была научно-популярная энциклопедия широкого охвата,написанная ярко и общедоступно.
 В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае вПетербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в томчисле дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли.Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теориидвижения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самогоЭйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Эйлерупришлось временно переселиться в другой дом. Второе событие: в сентябретого же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербургприбыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель.После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левогоглаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз отяркого света, не писать, не читать — лишь постепенно привыкать кновому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлерснял повязку и вскоре потерял зрение снова. На этот раз —окончательно.
 1772: «Новая теория движения Луны». Эйлер наконец завершил своймноголетний труд, приближённо решив задачу трёх тел.
 В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал изБазеля ученик Бернулли, Николаус Фусс. Это было большой удачей дляЭйлера. Фусс, одарённый математик, сразу же после приезда взял на себязаботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучкеЭйлера. В последующие десять лет — до самой своей смерти — Эйлерпреимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался«глазами старшего сына» и других своих учеников. В этом же 1773 годуумерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Смерть жены былаболезненным ударом для учёного, искренне привязанного к семье. ВскореЭйлер женился на Саломее-Абигайль, сводной сестре покойной жены.
 В 1779 году опубликована «Всеобщая сферическая тригонометрия», этопервое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.
 Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летнийучёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 (18) сентября послеобеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с академиком А. И. Лекселем онедавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себяплохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю», — и потерял сознание. Черезнесколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался откровоизлияния в мозг.
 «Он перестал вычислять и жить», — сказал Кондорсе на траурномзаседании Парижской Академии наук .
 Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надписьна памятнике на немецком языке гласила: «Здесь покоятся останкизнаменитого во всём свете Леонарда Эйлера, мудреца и праведника. Родилсяв Базеле 4 апреля 1707 года, умер 7 сентября 1783 года». По смертиЭйлера его могила затерялась и была найдена, в заброшенном состоянии,только в 1830 году. В 1837 году Академия наук заменила эту надгробнуюплиту новым гранитным надгробием (существующим и поныне) с надписью налатинском языке «Леонарду Эйлеру — Петербургская Академия» .
 В ходе празднования 250-летия Эйлера (1957 год) прах великого математикабыл перенесён в «Некрополь XVIII века» на Лазаревском кладбищеАлександро-Невской лавры, где располагается поблизости от могилыМ. В. Ломоносова.

Вклад внауку


 Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики,механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Познания Эйлерабыли энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику,медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.
 Эйлер охотно участвовал в научных дискуссиях, из которых наибольшуюизвестность получили:

  • спор о струне;
  • спор с Д'Аламбером о свойствах комплексного логарифма;
  • спор с Джоном Доллондом о том, возможно ли создать ахроматическую линзу.

 Во всех упомянутых случаях позиция Эйлера поддержана современной наукой.

Математика


 С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Если до негодостижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы,то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, геометрию, тригонометрию,теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, добавив при этомнемало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся стех пор «по Эйлеру» почти без изменений.
 Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, фундаментальная«формула Эйлера» в теории комплексных чисел, операция сравнения поцелому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундаментмеханики, многочисленные приёмы интегрирования и решениядифференциальных уравнений, число e, обозначение i длямнимой единицы, ряд специальных функций и многое другое.
 По существу, именно он создал несколько новых математическихдисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексныхфункций, дифференциальную геометрию поверхностей; он заложил основытеории специальных функций. Другие области его трудов: диофантов анализ,математическая физика, статистика и т. д.
 Биографы отмечают, что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменностарался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительныхметодов и сам был непревзойдённым мастером численных расчётов. Ж.Кондорсе рассказывал, что однажды два студента, выполняя независимосложные астрономические вычисления, получили немного различающиесярезультаты в 50-м знаке и обратились к Эйлеру за помощью. Эйлер проделалте же вычисления в уме и указал правильный результат.

agraphТеориячисел
 П. Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий,составляющих общую теорию чисел». Большинство математиков XVIII веказанимались развитием анализа, но Эйлер пронёс увлечение древнейарифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теориичисел к концу века возродился.
 Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влияниемДиофанта) ряд разрозненных гипотез о натуральных числах. Эйлер строгодоказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил всодержательную теорию чисел. Он ввёл в математику исключительно важную«функцию Эйлера» и сформулировал с её помощью «теорему Эйлера». Онопроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида Fn=22n+1 —простые; оказалось, что F5 делится на 641. Доказал утверждение Фермао представлении нечётного простого числа в виде суммы двух квадратов.Дал одно из решений задачи о четырёх кубах. Доказал, что число Мерсенна2311=2147483647 — простое число; в течение почти ста лет (до1867 года) оно оставалось наибольшим известным простым числом.
 Эйлер создал основу теории сравнений и квадратичных вычетов, указав дляпоследних критерий разрешимости. Эйлер ввёл понятие первообразного корняи выдвинул гипотезу, что для любого простого числа p существуетпервообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел,позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теорииимела другая гипотеза Эйлера — квадратичный закон взаимности, такжедоказанный Гауссом. Эйлер доказал Великую теорему Ферма для n=3 иn=4, создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различныеклассы диофантовых уравнений, теорию разбиений чисел на слагаемые.
 В задаче о количестве разбиений натурального числа n получил формулу,выражающую производящую функцию числа разбиений p(n) через бесконечноепроизведение

n=0p(n)xn=k=111xk .
 Эйлер определил дзета-функцию, обобщение которой получило впоследствииимя Римана:

ζ(s)=11s+12s+13s+ ,
 где s вещественное число (у Римана — комплексное).Эйлер вывел для неё разложение:

ζ(s)=p11ps ,
 где произведение берётся по всем простым числам p. Темсамым он открыл, что в теории чисел возможно применение методовматематического анализа, положив начало аналитической теории чисел, воснове которой лежат тождество Эйлера и общий метод производящихфункций.

agraphМатематическийанализ
 Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой — монография «Введение ванализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году вышло дополненное«Дифференциальное исчисление», а в 1768—1770 годах — три тома«Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошоиллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией исимволикой. «Можно с уверенностью сказать, что добрая половина того, чтопреподаётся теперь в курсах высшей алгебры и высшего анализа, находитсяв трудах Эйлера» (Н. Н. Лузин). Эйлер первый дал систематическую теориюинтегрирования и используемых при этом технических приёмов. В частности,он — автор классического способа интегрирования рациональных функцийпутём разложения их на простые дроби и метода решения дифференциальныхуравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами. Впервыеввёл двойные интегралы.
 Эйлер всегда уделял особое внимание методам решения дифференциальныхуравнений — как обыкновенных, так и в частных производных, открыв иописав важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Изложил«метод ломаных» Эйлера (1768) — численный метод решения системобыкновенных дифференциальных уравнений. Одновременно с А. К. КлероЭйлер вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм отдвух или трёх переменных (1739). Получил серьёзные результаты в теорииэллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения эллиптическихинтегралов (1761). Впервые исследовал максимумы и минимумы функциймногих переменных.
 Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера иЯкоба Бернулли, однако Эйлер выполнил настолько глубокое исследованиеэтой важнейшей константы, что с тех пор она носит его имя. Другаяисследованная им константа: постоянная Эйлера — Маскерони.
 Современное определение показательной, логарифмической итригонометрических функций — тоже его заслуга, так же как и ихсимволика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые вучебниках «условия Коши — Римана», более правильно было бы назвать«условиями Даламбера — Эйлера».
 Он делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления, выписавуравнения Эйлера — Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 годуЭйлер опубликовал трактат «Метод нахождения кривых линий\ldots» —первую работу по вариационному исчислению (помимо прочего, она содержалапервое систематическое изложение теории упругих кривых и результаты посопротивлению материалов).
 Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её накомплексную область, получив при этом знаменитую формулу Эйлера, дающуютригонометрическое представление комплексного числа. Большое впечатлениена математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером,в том числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:

ζ(2)=limn(112+122+132++1n2)=π26.
 С помощью рядов Эйлер исследовал трансцендентные функции, то есть тефункции, которые не выражаются алгебраическим уравнением (например,интегральный логарифм). Он открыл (1729—1730) имеющие сейчасмногообразные приложения «эйлеровы интегралы» — специальные функции,вошедшие в науку как гамма-функция и бета-функция Эйлера. При решениизадачи о колебаниях упругой мембраны (возникла в связи с определениемвысоты звука литавр) Эйлер в 1764 году впервые ввёл бесселевы функциидля любого натурального индекса (исследование Ф. В. Бесселя, имякоторого эти функции носят ныне, относится к 1824 году).
 С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами невсегда могут считаться корректными (обоснование анализа было проведенолишь полвека спустя), но феноменальная математическая интуицияпрактически всегда подсказывала ему правильный результат. Вместе с темво многих важных отношениях его понимание опередило время — например,предложенное им обобщённое понимание суммы расходящихся рядов и операцийс ними послужило основой современной теории этих рядов, развитой в концеXIX — начале XX века.

agraphГеометрия
 Файл:EulerGeradeColor.pngthumbright219px
 В треугольнике ABC ортоцентр H, центр U описанной окружности и центроидS лежат на одной «прямой Эйлера»
 В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не отмеченныхЕвклидом:

  • три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре);
  • в треугольнике ортоцентр H, центр описанной окружности U и центр тяжести S (он же — центроид) лежат на одной прямой — «прямой Эйлера» e (см. рисунок справа). Уточнение. На «прямой Эйлера» также лежит центр окружности Эйлера (центр окружности девяти точек) (см. другой рисунок);
  • основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности («окружности Эйлера»);
  • число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой: \Beta\Rho+Γ=2 (в современной трактовке число 2 здесь выступает как важнейший топологический инвариант выпуклого многогранника — его эйлерова характеристика, а сам этот результат Эйлера, полученный в 1758 году, положил начало накоплению фактов топологии).

 Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) — это первый вмире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальнойгеометрии. Эйлер дал классификацию алгебраических кривых 3-го и 4-гопорядков, а также поверхностей второго порядка. Термин «аффинныепреобразования» впервые введён в этой книге вместе с теорией такихпреобразований. В 1732 году Эйлер вывел общее уравнение геодезическихлиний на поверхности.
 В 1760 году вышли фундаментальные «Исследования о кривизнеповерхностей». Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхностиимеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусамикривизны и что плоскости их взаимно перпендикулярны. Вывел формулу связикривизны сечения поверхности с главными кривизнами.
 В 1771 году Эйлер опубликовал сочинение «О телах, поверхность которыхможно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятиеразвёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая можетбыть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даётздесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняягеометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у негоосновным инструментом теории поверхностей.
 В связи с задачами картографии Эйлер глубоко исследовал конформныеотображения, впервые применив для этого средства комплексного анализа.

agraphКомбинаторика
 Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде суммспециального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числаразбиений. При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойствасочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера.
 Эйлер исследовал алгоритмы построения магических квадратов методомобхода шахматным конём. Две его работы (1776, 1779) заложили фундаментобщей теории латинских и греко-латинских квадратов, огромнаяпрактическая ценность которой выяснилась после создания РональдомФишером методов планирования эксперимента, а также в теории кодов,исправляющих ошибки.

agraphДругие областиматематики
 Статья Эйлера 1736 года «Решение вопроса, связанного с геометриейположения» положила начало теории графов как математической дисциплине.Поводом для исследования послужила задача о семи мостах Кёнигсберга:можно ли пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходное место?Эйлер формализовал её, сведя к задаче о существовании в графе (вершиныкоторого отвечают частям города, разделённым протоками реки Преголя, арёбра — мостам) циклического маршрута, проходящего по каждомуребру ровно один раз (в современной терминологии — эйлерова цикла).Решая последнюю задачу, Эйлер показал: для наличия эйлерова цикла вграфе нужно, чтобы у каждой вершины её сте