Свёртка Дирихле

 В математике Свёртка Дирихле — это бинарная операция, определённая для арифметических функций, используемая в теории чисел. Она была изобретена и исследована немецким математиком Петером Густавом Леженом Дирихле.

Определение


 Если и  — две арифметические функции (то есть функции, отображающие множество натуральных чисел во множество комплексных чисел), то мы можем определить новую функцию fg, называемую свёрткой Дирихле функций и как

(fg)(n)=dnf(d)g(nd)=ab=nf(a)g(b)
  где сумма берётся по всем натуральным делителям числа , или, что эквивалентно, по всем парам (a,b) натуральных чисел, произведение которых равно .

Свойства


 Множество арифметических функций по поточечному сложению (то есть функция f+g определяется соотношением (f+g)(n)=f(n)+g(n)) и свёртка Дирихле образуют коммутативное кольцо, или кольцо Дирихле. Единицей кольца будет функция ϵ, определённая как ϵ(n)=1, если n=1 и ϵ(n)=0, если n>1. Обратимыми элементами являются все функции такие, что f(1)0.
 В частности, свёртка Дирихле является ассоциативной:

(fg)h=f(gh),
  дистрибутивной по сложению

f(g+h)=fg+fh=(g+h)f,
  коммутативной,

fg=gf,
  и имеет нейтральный элемент,

fϵ=ϵf=f.
  Для каждой функции , для которой f(1)0 существует функция такая, что fg=ϵ, называемая обращением Дирихле функции .
 Свёртка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, и каждая мультипликативная функция имеет мультипликативное обращение Дирихле. Статья о мультипликативных функциях содержит некоторые сходные соотношения свёртки, важные для мультипликативных функций.
 Если  — вполне мультипликативная функция, то f(gh)=(fg)(fh), где умножение функций определяется как их поточечная композиция. Свёртка двух вполне мультипликативных функций не всегда является вполне мультипликативной.

Примеры


 В приведённых ниже формулах используются следующие обозначения

ϵ — единица по умножению кольца.
 1 — это постоянная функция, значения которой равны 1 для всех n. (То есть 1(n)=1.) Запомните, что 1 — это не единица кольца.
1C, где CZ, — индикаторная функция. (То есть 1C(n)=1, если nC, иначе равна нулю)
Id — тождественная функция (то есть Id(n)=n)
Idk — -я степень тождественной функции. (То есть Idk=nk.)


 Прочие функции можно найти в статье арифметическая функция.

  • 1μ=ϵ (обращение Дирихле единичной функции равно функции Мёбиуса.) Отсюда следует, что


  • g=f1f=gμ (формула обращения Мёбиуса).


  • λ|μ|=ϵ, где λ — функция Лиувилля.


  • λ1=1S, где S={1;4;9;16;...} — множество квадратов


  • σk=Idk1, где σk(n)=dndk — сумма -х степеней делителей числа


  • σ=Id1, где σ=σ1 — сумма делителей числа


  • τ=11, где τ=σ0 — число делителей числа


  • Id=σμ


  • 1=τμ


  • τ31=(τ1)2


  • φ1=Id. — обращение соотношения для функции Эйлера.


  • Jk1=Id


  • (IdsJr)J=Js+r


  • σ=φτ. Доказательство: выполним свёртку обеих частей с 1 в тождестве Id=φ1.


  • Λ1=ln, где Λ — функция Мангольдта

Обращение Дирихле


 Если задана арифметическая функция , то её обращение Дирихле g=f1 может быть вычислена рекурсивно (точнее каждое значение g(n) выражается через g(m) для $m Для n=1 g(1)=f1(1) — определена при f(1)0
 И в общем для всех n>1

g(n)=1f(1)d<ndnf(nd)g(d).
g(n) определено, если f(1)0. Таким образом, функция имеет обращение Дирихле тогда и только тогда, когда f(1)0.

Ряды Дирихле


 Если  — арифметическая функция, то можно определить её ряд Дирихле, производящую функцию как

DG(f;s)=n=1+f(n)ns
  для всех таких комплексных аргументов , для которых ряд сходится. Произведение рядов Дирихле связано с её свёрткой Дирихле следующим образом:

DG(f;s)DG(g;s)=DG(fg;s)
  для всех , для которых оба ряда слева сходятся, причём хотя бы один сходится абсолютно (заметим, что просто сходимость обоих рядов слева не влечёт сходимость ряда справа!). Это похоже на теорему сходимости, если понимать ряд Дирихле как преобразование Фурье.