Проблема круга Гаусса

Проблема круга Гаусса — задача определения количества точек целочисленной решётки, попадающих в круг радиуса r с центром в начале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом, в честь него и названа проблема.

Проблема


 В круге R2 с центром в начале координат радиусом r ≥ 0 необходимо определить количество точек внутри круга, имеющих вид (m,n), где m и n — целые числа. Поскольку в декартовых координатах уравнение круга задается формулой: x2 + y2 = r2, эквивалентной формулировкой задачи станет вопрос: какое количество пар целых чисел m и n удовлетворяет неравенству

m2+n2r2.
  Если для заданного r обозначить искомое значение через N(r), то следующий список дает значения N(r) для значений целого радиуса r между 0 и 10:

  1, .

Границы значений и гипотезы


 Поскольку площадь круга радиуса r задается формулой πr2, то следовало бы ожидать, что число точек будет около πr2. На самом деле значение слегка больше этой величины на некоторую поправку E(r)

N(r)=πr2+E(r)
  Поиск верхней границы этой поправки и составляет суть проблемы.
 Гаусс показал, что

E(r)22πr.
  Харди и, независимо, Эдмунд Ландау нашли меньшее значение границы, показав, что

E(r)o(r1/2(logr)1/4),
  в нотации o-малое. Существует гипотеза, что истинное значение равно

E(r)=O(r1/2+ε).
  Если переписать последнее выражение в виде E(r) ≤ Crt, то текущие границы числа t равны

12<t131208=0.6298,
  где нижняя граница выведена Харди и Ландау в 1915 году, а верхняя доказана Мартином Хаксли (Martin Huxley) в 2000 году.
 В 2007 году Силвейн Кэппелл (Sylvain Cappell) и Юлиус Шейнисон (Julius Shaneson) выложили в arXiv статью, содержащую доказательство границы O(r1/2+ε).

Точное представление


 Значение N(r) можно представить как сумму некоторых последовательностей. Если использовать функцию округления вниз, то значение может быть выражено как

N(r)=1+4i=0(r24i+1r24i+3).
  Много проще выглядит представление с использованием функции r2(n), которая определяется как количество способов представить число n в виде суммы двух квадратов. В этом случае

N(r)=n=0r2r2(n).

Обобщения


 Хотя начальная формулировка задачи говорила о целочисленных решетках в круге, нет причин останавливаться только на круге. Можно ставить задачу нахождения числа точек решетки в других фигурах или конусах. «Проблема делителей» Дирихле эквивалентна данной задаче при замене круга гиперболой. Можно также распространить задачу на большие размерности, и говорить о числе точек внутри n-мерной сферы или другого объекта. Можно отказаться от геометрического представления проблемы и перейти к диофантовым неравенствам.

Проблема круга для взаимно простых чисел


 Другим обобщением может служить вычисление количества взаимно простых целых решений m и n уравнения

m2+n2r2.
  Эта задача известна как проблема круга для взаимно простых чисел или проблема круга для примитивных чисел Если обозначить число таких решений через V(r), то V(r) для малых целых значений радиуса r равны

  0, , \ldots .
  Используя те же самые идеи, что и для обычной проблемы Гаусса, и исходя из факта, что вероятность взаимной простоты двух чисел равна 6/π2, относительно легко показать, что

V(r)=6πr2+O(r1+ε).
  Как и в обычной постановке, задача для взаимно простых чисел заключается в уменьшении показателя экспоненты в поправке. На настоящее время лучшим известным показателем является 221/304 + ε, если принять гипотезу Римана. Без принятия гипотезы Римана наилучшей верхней границей является

V(r)=6πr2+O(rexp(c(logr)3/5(loglogr2)1/5))
  для некоторой положительной постоянной c.
 В частности, неизвестны границы поправки вида 1 − ε для любого ε \textgreater 0, если не принимать гипотезу Римана.