Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса μ(n) — мультипликативная арифметическаяфункция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честьнемецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение


μ(n) определена для всех натуральных чисел n и принимает значения1,0,1 в зависимости от характера разложения числа n напростые сомножители:

  • μ(n)=1, если n свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  • μ(n)=1, если n свободно от квадратов и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  • μ(n)=0, если n не свободно от квадратов.

 По определению также полагают μ(1)=1.

Свойства иприложения



  • Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a и b выполняется равенство μ(ab)=μ(a)μ(b).


  • Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю


d|nμ(d)={1,n=1,0,n>1.
 Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечногомножества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числаэлементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётногочисла элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулыобращения Мёбиуса.

  • k=1nμ(k)[nk]=1.


  • k=1μ(kn)k=0, где n - положительное целое число.


  • k=1μ(k)lnkk=1.


  • Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:


n=1μ(n)ns=1ζ(s).
 Ряд абсолютно сходится при Res>1, на прямойRes=1 сходится условно, в области 1/2<Res<1утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, апри Res<1/2 ряд заведомо не сходится, даже условно.
 При Res>1 справедлива также формула:

 \{sum\{limits\_\{n=1\}\^\{\{infty\}\{frac\{

  • n=1μ(pn)ns=ps(1ps)ζ(s), где p — простое число.


  • Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана


M(n)=k=1nμ(k).

  • Справедливы асимптотические соотношения:


1xnxμ(n)=o(1) приx
1xnx|μ(n)|=1ζ(2)+O(1x),
 из которых следует, что существует асимптотическая плотностьраспределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества еёнулей равна 11/ζ(2)=0,3920729, а плотность множества единиц(или минус единиц) 1/2ζ(2)=0,30396355. На этом факте основанытеоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

ОбращениеМёбиуса


Первая формула обращенияМёбиуса


 Для арифметических функций f и g,

g(n)=dnf(d)
 тогда и только тогда, когда

f(n)=dnμ(d)g(n/d).

Вторая формула обращенияМёбиуса


 Для вещественнозначных функций f(x) и g(x), определённых приx1,

g(x)=nxf(xn)
 тогда и только тогда, когда

f(x)=nxμ(n)g(xn).
 Здесь сумма nx интерпретируется какn=1x.

Обобщённая функцияМёбиуса


 Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, егоприрода может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичнымисвойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченныхмножествах.
 Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношениемсравнения . Будем считать, чтоababa=b.

Определение


 Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

μA(a,b)={1,a=bazbμA(a,z),ab0,ba

Формулаобращения


 Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве A ивыполнено условие g(x)=yxf(y).
 Тогда f(x)=yxμA(y,x)g(y)

Связь с классической функциейМёбиуса


 Если взять в качестве A множество натуральных чисел, приняв заотношение ab отношение abab, то получимμN(a,b)=μ(ba), где μ -классическая функция Мёбиуса.
 Это, в частности, означает, что μ(n)=μN(1,n), идалее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции изопределения обобщённой функции и тождестваk=1n(1)kCnk=0, так как суммирование повсем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматриватькак суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых вкаждом элементе булеана.