Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса μ(n) — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение


μ(n) определена для всех натуральных чисел n и принимает значения 1,0,1 в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:

  • μ(n)=1, если n свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  • μ(n)=1, если n свободно от квадратов и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  • μ(n)=0, если n не свободно от квадратов.

 По определению также полагают μ(1)=1.

Свойства и приложения



  • Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a и b выполняется равенство μ(ab)=μ(a)μ(b).


  • Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю


d|nμ(d)={1,0,n=1,n>1.
  Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

  • k=1nμ(k)[nk]=1.


  • k=1μ(kn)k=0, где n - положительное целое число.


  • k=1μ(k)lnkk=1.


  • Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:


n=1μ(n)ns=1ζ(s).
  Ряд абсолютно сходится при Res>1, на прямой Res=1 сходится условно, в области 1/2<Res<1 утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при Res<1/2 ряд заведомо не сходится, даже условно.
 При Res>1 справедлива также формула:

  \{sum\{limits\_\{n=1\}\^\{\{infty\} \{frac\{

  • n=1μ(pn)ns=ps(1ps)ζ(s), где p — простое число.


  • Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана


M(n)=nk=1μ(k).

  • Справедливы асимптотические соотношения:


1xnxμ(n)=o(1) при x
1xnx|μ(n)|=1ζ(2)+O(1x),
  из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна 11/ζ(2)=0,3920729, а плотность множества единиц (или минус единиц) 1/2ζ(2)=0,30396355. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса


Первая формула обращения Мёбиуса


 Для арифметических функций f и g,

g(n)=dnf(d)
  тогда и только тогда, когда

f(n)=dnμ(d)g(n/d).

Вторая формула обращения Мёбиуса


 Для вещественнозначных функций f(x) и g(x), определённых при x1,

g(x)=nxf(xn)
  тогда и только тогда, когда

f(x)=nxμ(n)g(xn).
  Здесь сумма nx интерпретируется как xn=1.

Обобщённая функция Мёбиуса


 Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.
 Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения . Будем считать, что ababa=b.

Определение


 Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

μA(a,b)=1,azbμA(a,z),0,a=babba

Формула обращения


 Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве A и выполнено условие g(x)=yxf(y).
 Тогда f(x)=yxμA(y,x)g(y)

Связь с классической функцией Мёбиуса


 Если взять в качестве A множество натуральных чисел, приняв за отношение ab отношение abab, то получим μN(a,b)=μ(ba), где μ - классическая функция Мёбиуса.
 Это, в частности, означает, что μ(n)=μN(1,n), и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества k=1n(1)kCkn=0, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.