Мультипликативная функция

 В теории чисел мультипликативная функция ― арифметическая функция f(m), такая что


f(m1m2)=f(m1)f(m2) для любых взаимно простых чисел m1 и m2



f(1)=1

 При выполнении первого условия, требование f(1)=1 равносильно тому, что функция f(m) не равна тождественно нулю.
 Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию f, определенную на некотором множестве X, такую что


f(x1x2)=f(x1)f(x2) для любых x1,x2X.

 В теории чисел такие функции, то есть функции f(m), для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных m1,m2, называются вполне мультипликативными.
 Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если


f(pα)=f(p)

 для всех простых p и всех натуральных α.
 Функция f называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных x,y выполняется соотношение f(xy)=f(x)f(y).

Примеры



  • Функция τ(m) ― число натуральных делителей натурального m.
  • Функция σ(m) ― сумма натуральных делителей натурального m.
  • Функция Эйлера φ(m).
  • Функция Мёбиуса μ(m).
  • Функция φ(m)m является сильно мультипликативной.
  • Степенная функция f(m)=mα является вполне мультипликативной.

Свойства


 Если f(m) — мультипликативная функция, то функция


g(m)=d|mf(d)

 также будет мультипликативной. Обратно, если функция g(m), определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция f(m) также мультипликативна.
 Более того, если f(m) и g(m) — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле


h(m)=d|mf(d)g(md)