Суммирующая функция делителей

Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция, являющаяся суммой функции делителей. Функция часто используется для исследования асимптотического поведения дзета-функции Римана. Различные исследования асимптотического поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей.

Определение


 Суммирующая функция делителей определяется как:

D(x)=nxd(n)=j,kjkx1,
  где

d(n)=σ0(n)=j,kjk=n1 — функция делителей. Функция делителей считает число путей, какими целое число n может быть записано в виде произведения двух целых чисел.
  В более общем виде её можно определить как

Dk(x)=nxdk(n)=mnxdk1(n),
  где dk(n) определяет число путей представления числа n в виде произведения k чисел. Это число может быть представлено визуально как число узлов решетки, ограниченных гиперболической поверхностью в k измерениях. Тогда, при k=2, D(x)=D2(x) представляет число точек квадратной решетки, ограниченных осями координат и гиперболой jk = x. Эта фигура грубо может быть представлена как гиперболический симплекс, что позволяет нам получить альтернативный путь для выражения D(x) и более простой путь вычисления за время O(x):

D(x)=k=1xxk=2k=1uxku2, где u=x
  Если в этом контексте гиперболу заменить окружностью, получится задача вычисления похожей функции, которая известна как проблема круга Гаусса.

Проблема делителей Дирихле


 Нахождение законченного выражения для этой суммы выглядит невозможным, но можно дать аппроксимацию, которую несложно найти. Дирихле показал, что

D(x)=xlogx+x(2γ1)+Δ(x)$,где\gammaпостояннаяЭйлераМаскерони,анеасимптотическаясоставляющаяравна\Delta(x) = \mathcal{O}\left(\sqrt{x}\right).$
  Точная формулировка проблемы делителей Дирихле состоит в нахождении нижней грани всех значений θ, для которых

Δ(x)=O(xθ+ϵ)
  выполняется для любого ϵ>0. К 2006 году проблема оставалась нерешённой.
 Секция F1 нерешённых проблем в теории чисел даёт обзор, что известно и что остается неизвестным о проблеме делителей Дирихле и проблеме круга Гаусса.

  • В 1904 году Вороной доказал, что оценка отклонения может быть улучшена до O(x1/3logx).
  • В 1916 году Харди показал, что infθ1/4. В частности, он продемонстрировал, что для некоторой постоянной K, существуют такие x, что Δ(x)>Kx1/4 и такие x, что Δ(x)<Kx1/4.
  • В 1922 году Йоханнес ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до infθ33/100.
  • В 1928 году Йоханнес ван дер Корпут доказал, что infθ27/82.
  • В 1950 году Чи Цун-тао (Chih Tsung-tao) и, независимо, в 1953 году Ричерт (H. E. Richert) доказали, что infθ15/46.
  • В 1969 году Григорий Колесник показал, что infθ12/37
  • В 1973 году Григорий Колесник показал, что infθ346/1067.
  • В 1982 году Григорий Колесник показал, что infθ35/108.
  • В 1988 году Г. Иванец и Модзоки (C. J. Mozzochi) доказали, что infθ7/22.
  • В 2003 году Мартин Хаксли улучшил оценку показав, что infθ131/416.

 Таким образом, истинное значение infθ лежит где-то между 1/4 и 131/416 (примерно 0,3149). Широко распространена гипотеза, что значение равно в точности 1/4. Прямые вычисления Δ(x) приводят к этой гипотезе, поскольку Δ(x)/x1/4 оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до 1016.

Обобщенная проблема делителей


 В обобщённом случае

Dk(x)=xPk(logx)+Δk(x)
  где Pk — многочлен степени k1.
 Используя простые оценки можно показать, что

Δk(x)=O(x11/klogk2x)
  для целых k2. Как и в случае k=2, нижняя граница неизвестна. Если обозначить через θk минимальное значение, для которого выполняется

Δk(x)=O(xθk+ε)
  для любого ε>0, то известны следующие результаты:

  • Вороной и Ландау: θkk1k+1 для k=2,3,
  • Харди и Литтлвуд: θkk1k+2 для k=4,5,
  • Харди показал, что θkk12k для k=2,3,
  • Титчмарш предположил, что θk=k12k.

Преобразование Меллина


 Оба члена можно выразить через преобразование Меллина:

  D(x)=\{frac\{1\}\{2\{pi i\} \{int\_\{c-i\{infty\}\^\{c+i\{infty\}
  \{zeta\^2(w) \{frac \{x\^w\}\{w\}\{, dw
 для c>1. Здесь, ζ(s) — дзета-функции Римана.
 Подобным же образом

  \{Delta(x)=\{frac\{1\}\{2\{pi i\} \{int\_\{c\^\{prime-i\{infty\}\^\{c\^\{prime+i\{infty\}
  \{zeta\^2(w) \{frac \{x\^w\}\{w\} \{,dw
 с $0 В общем случае

  D\_k(x)=\{frac\{1\}\{2\{pi i\} \{int\_\{c-i\{infty\}\^\{c+i\{infty\}
  \{zeta\^k(w) \{frac \{x\^w\}\{w\} \{,dw
 и то же самое для Δk(x), for k2.