Неприкосновенное число

Неприкосновенное число  — положительное целое число,которое не может быть выражено как сумма всех собственных делителейлюбого целого положительного числа (в том числе самого неприкосновенногочисла).
 Например, число 4 не является неприкосновенным, так как оно равно суммесобственных делителей числа 9: 1 + 3 = 4. Число 5 являетсянеприкосновенным, так как его нельзя выразить в виде суммы собственныхделителей любого натурального числа: 5 = 1 + 4 — единственный способ,чтобы написать 5 в виде суммы различных натуральных чисел, включая 1, ноесли 4 — делитель числа, 2 также является его делителем, так что 1 + 4не может быть суммой всех собственных делителей любого числа (так какперечень делителей должен содержать как 4, так и 2).
 Первые пятьдесят три неприкосновенных числа:

 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248,262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372,406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552,556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658
 Считается, что 5 — единственное нечётное число из неприкосновенных, ноэто не было доказано. Это должно следовать из немного усиленноговарианта гипотезы Гольдбаха. Таким образом, представляется, что, кроме 2и 5, все неприкосновенные числа составные. Совершенные числа не могутбыть неприкосновенными, так как они могут быть выражены как сумма своихсобственных делителей.
 Пол Эрдёш доказал, что множество неприкосновенных чисел бесконечно.
 Не существует неприкосновенных чисел, которые бы были на единицу больше,чем простое число, так как если р — простое число, то суммасобственных делителей р2 будет р + 1. Кроме того, несуществует неприкосновенных чисел, за исключением 5, равных простомучислу плюс три, так как если р — простое число, не равное двум, тосумма собственных делителей 2р будет р + 3.