Processing math: 100%

Тождество Кассини

Тождество Кассини — тождество, утверждающее, что для n-огочисла Фибоначчи выполняется следующее соотношение:

Fn1Fn+1F2n=(1)n.
Тождество Каталана обобщает это соотношение:

F2nFnrFn+r=(1)nrF2r.
 Формула Кассини была открыта в 1680 году Джованни Кассини, бывшим в товремя директором Парижской обсерватории, доказана Робертом Симсоном в1753 году. В 1879 году Эжен Каталан обобщил результат.
 Быстрое доказательство тождества Кассини можно дать, если представитьлевую часть тождества в виде определителя матрицы из чисел Фибоначчиразмером 2×2, показав, что эта матрица является n-ой степенью матрицыс определителем −1:

 F\_\{n-1\}F\_\{n+1\} - F\_n\^2

\{

det\{left[\{begin\{matrix\}F\_\{n+1\}\&F\_n\{\{F\_n\&F\_\{n-1\}\{end\{matrix\}\{right]
 \{det\{left[\{begin\{matrix\}1\&1\{\{1\&0\{end\{matrix\}\{right]\^n

\{

left(\{det\{left[\{begin\{matrix\}1\&1\{\{1\&0\{end\{matrix\}\{right]\{right)\^n
 (-1)\^n