Числа Каталана

Числа Каталана — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.
 Числа Каталана Cn для n=0,1,2, образуют последовательность:

  1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, \ldots

Определения


n-е число Каталана Cn можно определить несколькими эквивалентными способами, такими как:

  • Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
  • Количество правильных скобочных последовательностей длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом её префиксе открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.


  Например, для n = 3 существует 5 таких последовательностей:

  \texttt (), , , ,
  то есть C3=5.

  • Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.
  • Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n + 1 листьями.
  • Количество всевозможных способов линеаризации декартова произведения 2 линейных упорядоченных множеств: из 2 и из n элементов.

Свойства



  • Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:
    C0=1 и Cn=i=0n1CiCn1i для n1.


  Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w = (w1)w2, где w1, w2 — правильные скобочные последовательности.

  • Есть ещё одно рекуррентное отношение:
    C0=1 и Cn=(2nn)k=0n1Ck(2n2k1nk).


  • Также существует более простое рекуррентное соотношение:
    C0=1 и Cn=2(2n1)n+1Cn1.


  • Производящая функция чисел Каталана равна:
    n=0Cnzn=114z2z.


  • Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:
    Cn=1n+1(2nn)=12n+1(2n+1n)=(2nn)(2nn1).


  Другими словами, число Каталана Cn равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

  • Асимптотически Cn4nn3/2π.