Числа Каллена

 В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n2n+1 (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

Свойства


 В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых nx, для которых Cn простое, есть o(x) для x. В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел n2n+a+b где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:

  1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 .
  Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.
 К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было 667988126679881+1. Это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.
 Числа Каллена Cn делятся на p=2n1, если p простое число вида 8k3. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит Cm(\emphk) для каждого m(k)=(2kk)(p1)k (для k \textgreater 0). Было также показано, что простое число p делит C(p+1)/2, когда символ Якоби (2p) есть −1, и что p делит C(3p1)/2, когда символ Якоби (2p) есть +1.
 Неизвестно, существует ли простое число p, такое что Cp тоже простое.

Обобщения


 Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида nbn+1, где n + 2 \textgreater b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.
 К февралю 2012 гда наибольшим известным обобщённым простым числом Каллена было 427194113427194+1. Оно имеет 877 069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.