Processing math: 78%

Факториал

Факториал натурального числа ( — действующий, производящий,умножающий; обозначается !, произносится энфакториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 довключительно:

n!=12n=nk=1k
 Например:

5!=12345=120.
 По общепринятому соглашению, 0!=1.
Выведение формулы:
 : \{begin\{align\}n
\=\{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n+1\}\{2\}\}\}

\{

frac\} \{cdot\{\{color\{Gray\}\{overbrace\{\{color\{Black\}1\{cdot 3 \{cdot 5 \{cdot 7\{cdot \{ldots \{cdot (n-2)\{cdotn\}\^\{\{color\{Black\}\{frac\{n+1\}\{2\}\}\}\}\{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\}
 \{\{ \
=\{frac\{\{color\{Gray\}\{overbrace\{\{color\{Black\}1\{cdot \{\{color\{OliveGreen\}2\}\{cdot 3 \{cdot\{\{color\{OliveGreen\}4\} \{cdot 5\{cdot \{\{color\{OliveGreen\}6\}\{cdot 7 \{cdot \{ldots\{cdot (n-2) \{cdot\{\{color\{OliveGreen\}(n-1)\} \{cdotn\}\^\{\{color\{Black\}n\}\}\{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\}

\{

frac\{n!\}\{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\}
 \{frac\{n!\}\{(n-1)
\} \{end\{align\}
 : Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двухсоседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного изних. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного. Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде\{\{math(n-1)
\}\}) и осуществим некоторыетождественные алгебраические преобразования над знаменателем:

 \{begin\{align\}\
\{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\}=\{\{color\{Gray\}\{underbrace\{\{color\{OliveGreen\}2\{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot\{ldots \{cdot2\}\_\{\{color\{Black\}\{tfrac\{n-1\}\{2\}\}\}\{; \{cdot \{;\{frac\{\{; 2 \{cdot 4\{cdot 6 \{cdot \{ldots\{cdot (n-1)\{;\}\{\{color\{Gray\}\{underbrace\{\{color\{OliveGreen\}2\{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot\{ldots \{cdot2\}\_\{\{color\{Black\}\{tfrac\{n-1\}\{2\}\}\}=
 \{\{ \
= \{2\^\} \{cdot\{left ( 1 \{cdot 2 \{cdot 3\{cdot \{ldots \{cdot\{frac\{n-1\}\{2\} \{right )\} = 2\^\}\{cdot \{left (\{frac\{n-1\}\{2\} \{right )!\{end\{align\}
 : Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для n
:
 : n
= \{frac\{n!\}\{2\^\} \{cdot\{left ( \{frac\{n-1\}\{2\}\{right )!\}

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

 \{begin\{align\} 15!! \& =\{frac\{15!\}\{2\^\} \{cdot\{left ( \{frac\{15-1\}\{2\}\{right )!\}

\{

frac\{15!\}\{2\^ \{cdot7!\}
 \{\{ \& =\{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}\{frac\{1\{cdot 2 \{cdot 3 \{cdot 4\{cdot 5 \{cdot 6 \{cdot 7\{cdot 8 \{cdot 9 \{cdot 10\{cdot 11 \{cdot 12 \{cdot 13\{cdot 14 \{cdot 15\}\{(2\{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot 2\{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot 2)\{cdot (1 \{cdot 2 \{cdot 3\{cdot 4 \{cdot 5 \{cdot 6\{cdot 7)\}\}\} = \{\{ \& =\{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}\{frac\{1\{cdot 2 \{cdot 3 \{cdot 4\{cdot 5 \{cdot 6 \{cdot 7\{cdot 8 \{cdot 9 \{cdot 10\{cdot 11 \{cdot 12 \{cdot 13\{cdot 14 \{cdot 15\}\{(2\{cdot 1) (2 \{cdot 2) (2\{cdot 3) (2 \{cdot 4) (2\{cdot 5) (2 \{cdot 6) (2\{cdot 7)\}\}\} = \{\{ \& =\{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}\{frac\{1\{cdot \{\{color\{OliveGreen\}2\}\{cdot 3 \{cdot\{\{color\{OliveGreen\}4\} \{cdot 5\{cdot \{\{color\{OliveGreen\}6\}\{cdot 7 \{cdot\{\{color\{OliveGreen\}8\} \{cdot 9\{cdot \{\{color\{OliveGreen\}10\}\{cdot 11 \{cdot\{\{color\{OliveGreen\}12\} \{cdot 13\{cdot \{\{color\{OliveGreen\}14\}\{cdot 15\}\{\{color\{OliveGreen\}2\{cdot 4 \{cdot 6 \{cdot 8\{cdot 10 \{cdot 12 \{cdot14\}\}\} = \{\{ \& =\{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}1\{cdot 3 \{cdot 5 \{cdot 7\{cdot 9 \{cdot 11 \{cdot 13\{cdot 15\}\} = 2027025 \{end\{align\}
 Осуществив замену n=2k для чётного и n=2k+1 для нечётногосоответственно, где k — целое неотрицательное число, получим:

  • для чётного числа:


(2k)!!=2462k=ki=12i=2kk!

  • для нечётного числа:


(2k+1)!!=135(2k+1)=ki=0(2i+1)=(2k+1)!2kk!
 По договорённости: 0!!=1. Также это равенство выполняетсяестественным образом:

0!!=200!=11=1
 Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только дляцелых неотрицательных чисел.
 Последовательность значений начинается так:

 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, , , , , , , , , , , , , , ,, , \ldots

Кратныйфакториал


-кратный факториал числа обозначаетсяn!!!m и определяется следующимобразом. Пусть число представимо в виде n=mkr, гдеkZ, r{0,1,,m1}. Тогда

n!!!m=ki=1(mir)
 Обычный и двойной факториалы являются частными случаями -кратногофакториала для и соответственно.
 Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением:

n!!!m=ki=1(mir)=mkΓ(krm+1)Γ(1rm).

Неполныйфакториал



agraphУбывающийфакториал
Убывающим факториалом называется выражение

(n)k=nk_=n[k]=n(n1)(nk+1)=n!(nk)!=ni=nk+1i.
 Например:

 = 7; = 4,
  + 1 = 4,
 nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
 Убывающий факториал даёт число размещений из по .

agraphВозрастающийфакториал
Возрастающим факториалом называется выражение

n(k)=n¯k=n(n+1)(n+k1)=(n+k1)!(n1)!=(n+k)1i=ni.

Праймориал илипримориал


Праймориал или примориал числа обозначается иопределяется как произведение первых простых чисел. Например,

p5#=2×3×5×7×11=2310.
 Иногда праймориалом называют число n#, определяемое как произведениевсех простых чисел, не превышающих заданное .
 Последовательность праймориалов (включая 1#1)начинается так:

 , , , , , , , , , , , , , , , , , , \ldots

Суперфакториалы


 Нейл Слоан и в 1995 году определили суперфакториал какпроизведение первых факториалов. Согласно этому определению,суперфакториал четырёх равен

sf(4)=1!×2!×3!×4!=288
 (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
 В общем


 \texttt \{operatorname\{sf\}(n)\\\texttt =\{prod\_\{k=1\}\^n k! =\{prod\_\{k=1\}\^n k\^\{n-k+1\}\\\texttt =1\^n\{cdot2\^\{n-1\}\{cdot3\^\{n-2\}\{cdots(n-1)\^2\{cdot n\^1.\\
 Последовательность суперфакториалов чисел n начинаетсятак:

 1, 1, 2, 12, 288, , , , , , , , , \ldots
 Идея была обобщена в 2000 году , что привело к гиперфакториалам, которые являются произведением первых суперфакториалов.Последовательность гиперфакториалов чисел n \geqslant 0 начинаетсятак:

 1, 1, 2, 24, 6912, , , , , , \ldots
 Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратногоуровня, или -уровневый факториал числа , как произведение ( −1)-уровневых факториалов чисел от 1 до , то есть

\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k},
 где \operatorname{mf}(n,0)=n для n>0 и \operatorname{mf}(0,m)=1.

Субфакториал


Субфакториал ! определяется как количество беспорядков порядка, то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.