Факториал

Факториал натурального числа ( — действующий, производящий, умножающий; обозначается !, произносится эн факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно:

n!=12n=k=1nk
  Например:

5!=12345=120.
  По общепринятому соглашению, 0!=1.
Выведение формулы:
  : \{begin\{align\}n
\= \{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n+1\}\{2\}\}\}

\{

frac\} \{cdot \{\{color\{Gray\}\{overbrace\{\{color\{Black\}1 \{cdot 3 \{cdot 5 \{cdot 7 \{cdot \{ldots \{cdot (n-2) \{cdot n\}\^\{\{color\{Black\}\{frac\{n+1\}\{2\}\}\}\} \{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\}
 \{\{ \
= \{frac\{\{color\{Gray\}\{overbrace\{\{color\{Black\}1 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}2\} \{cdot 3 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}4\} \{cdot 5 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}6\} \{cdot 7 \{cdot \{ldots \{cdot (n-2) \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}(n-1)\} \{cdot n\}\^\{\{color\{Black\}n\}\} \{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\}

\{

frac\{n!\}\{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\}
 \{frac\{n!\}\{(n-1)
\} \{end\{align\}
 : Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двух соседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного из них. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного . Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде \{\{math(n-1)
\}\}) и осуществим некоторые тождественные алгебраические преобразования над знаменателем:

  \{begin\{align\}\
\{\{color\{Gray\}\{underbrace\_\{\{color\{Black\}\{frac\{n-1\}\{2\}\}\} = \{\{color\{Gray\}\{underbrace\{\{color\{OliveGreen\}2 \{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot \{ldots \{cdot 2\}\_\{\{color\{Black\}\{tfrac\{n-1\}\{2\}\}\} \{; \{cdot \{; \{frac\{\{; 2 \{cdot 4 \{cdot 6 \{cdot \{ldots \{cdot (n-1) \{;\}\{\{color\{Gray\}\{underbrace\{\{color\{OliveGreen\}2 \{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot \{ldots \{cdot 2\}\_\{\{color\{Black\}\{tfrac\{n-1\}\{2\}\}\} =
  \{\{ \
= \{2\^\} \{cdot \{left ( 1 \{cdot 2 \{cdot 3 \{cdot \{ldots \{cdot \{frac\{n-1\}\{2\} \{right )\} = 2\^\} \{cdot \{left ( \{frac\{n-1\}\{2\} \{right )! \{end\{align\}
 : Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для n
:
 : n
= \{frac\{n!\}\{2\^\} \{cdot \{left ( \{frac\{n-1\}\{2\} \{right )!\}

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

  \{begin\{align\} 15!! \& = \{frac\{15!\}\{2\^\} \{cdot \{left ( \{frac\{15-1\}\{2\} \{right )!\}

\{

frac\{15!\}\{2\^ \{cdot 7!\}
 \{\{ \& = \{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}\{frac\{1 \{cdot 2 \{cdot 3 \{cdot 4 \{cdot 5 \{cdot 6 \{cdot 7 \{cdot 8 \{cdot 9 \{cdot 10 \{cdot 11 \{cdot 12 \{cdot 13 \{cdot 14 \{cdot 15\}\{(2 \{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot 2 \{cdot 2) \{cdot (1 \{cdot 2 \{cdot 3 \{cdot 4 \{cdot 5 \{cdot 6 \{cdot 7)\}\}\} = \{\{ \& = \{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}\{frac\{1 \{cdot 2 \{cdot 3 \{cdot 4 \{cdot 5 \{cdot 6 \{cdot 7 \{cdot 8 \{cdot 9 \{cdot 10 \{cdot 11 \{cdot 12 \{cdot 13 \{cdot 14 \{cdot 15\}\{(2 \{cdot 1) (2 \{cdot 2) (2 \{cdot 3) (2 \{cdot 4) (2 \{cdot 5) (2 \{cdot 6) (2 \{cdot 7)\}\}\} = \{\{ \& = \{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}\{frac\{1 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}2\} \{cdot 3 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}4\} \{cdot 5 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}6\} \{cdot 7 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}8\} \{cdot 9 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}10\} \{cdot 11 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}12\} \{cdot 13 \{cdot \{\{color\{OliveGreen\}14\} \{cdot 15\}\{\{color\{OliveGreen\}2 \{cdot 4 \{cdot 6 \{cdot 8 \{cdot 10 \{cdot 12 \{cdot 14\}\}\} = \{\{ \& = \{\{color\{white\}\{overbrace\{\{color\{Black\}1 \{cdot 3 \{cdot 5 \{cdot 7 \{cdot 9 \{cdot 11 \{cdot 13 \{cdot 15\}\} = 2027025 \{end\{align\}
 Осуществив замену n=2k для чётного и n=2k+1 для нечётного соответственно, где k — целое неотрицательное число, получим:

  • для чётного числа:


(2k)!!=2462k=i=1k2i=2kk!

  • для нечётного числа:


(2k+1)!!=135(2k+1)=i=0k(2i+1)=(2k+1)!2kk!
  По договорённости: 0!!=1. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!!=200!=11=1
  Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.
 Последовательность значений начинается так:

  1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, , , , , , , , , , , , , , , , , \ldots

Кратный факториал


-кратный факториал числа обозначается n!!!m и определяется следующим образом. Пусть число представимо в виде n=mkr, где kZ, r{0,1,,m1}. Тогда

n!!!m=i=1k(mir)
  Обычный и двойной факториалы являются частными случаями -кратного факториала для и соответственно.
 Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением:

n!!!m=i=1k(mir)=mkΓ(krm+1)Γ(1rm).

Неполный факториал



agraphУбывающий факториал
Убывающим факториалом называется выражение

(n)k=nk_=n[k]=n(n1)(nk+1)=n!(nk)!=i=nk+1ni.
  Например:

 = 7; = 4,
  + 1 = 4,
 nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
  Убывающий факториал даёт число размещений из по .

agraphВозрастающий факториал
Возрастающим факториалом называется выражение

n(k)=nk¯=n(n+1)(n+k1)=(n+k1)!(n1)!=i=n(n+k)1i.

Праймориал или примориал


Праймориал или примориал числа обозначается и определяется как произведение первых простых чисел. Например,

p5#=2×3×5×7×11=2310.
  Иногда праймориалом называют число n#, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное .
 Последовательность праймориалов (включая 1#1) начинается так:

 , , , , , , , , , , , , , , , , , , \ldots

Суперфакториалы


 Нейл Слоан и в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

sf(4)=1!×2!×3!×4!=288
  (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
 В общем


  \texttt \{operatorname\{sf\}(n)\\\texttt =\{prod\_\{k=1\}\^n k! =\{prod\_\{k=1\}\^n k\^\{n-k+1\}\\\texttt =1\^n\{cdot2\^\{n-1\}\{cdot3\^\{n-2\}\{cdots(n-1)\^2\{cdot n\^1.\\
 Последовательность суперфакториалов чисел n0 начинается так:

  1, 1, 2, 12, 288, , , , , , , , , \ldots
  Идея была обобщена в 2000 году , что привело к гиперфакториалам , которые являются произведением первых суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n0 начинается так:

  1, 1, 2, 24, 6912, , , , , , \ldots
  Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или -уровневый факториал числа , как произведение ( − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до , то есть

mf(n,m)=mf(n1,m)mf(n,m1)=k=1nk(nk+m1nk),
  где mf(n,0)=n для n>0 и mf(0,m)=1.

Субфакториал


Субфакториал ! определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.