Дружественные числа

Дружественные числа — два различных натуральных числа, длякоторых сумма всех собственных делителей первого числа равна второмучислу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равнапервому числу. То есть, пару натуральных чисел M,N называютдружественной, если:

m1+m2+...+mk=N,
n1+n2+...+nl=M,
 где m1,m2,...mk — делители числа M, n1,n2,...nl —делители числа N.
 Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа:каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теориичисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательнойматематики.

История


 Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые,однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

  • Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.
  • Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

 Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложилпримерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Егоформула позволила найти две новые пары дружественных чисел:

  • и .
  • и .

 В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пардружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этоткритерий охватывает не все пары; например, пару (1184, 1210) Эйлер незаметил, её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помоглинайти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождениявсех таких пар нет до сих пор.

Примеры


 Ниже приведены все пары дружественных чисел вплоть до .

  1. (Пифагор, около 500 до н. э.)
  2. (Паганини, 1866)
  3. (Эйлер, 1747)
  4. (Эйлер, 1747)
  5. (Эйлер, 1750)
  6. (Эйлер, 1747)
  7. (Браун, 1939)
  8. (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
  9. (Эйлер, 1747)
  10. (Эйлер, 1750)
  11. (Эйлер, 1747)
  12. (Эйлер, 1747)
  13. (Рольф (Rolf), 1964)




























 Пары дружественных чисел образуют последовательность:

 , \ldots

Способыпостроения


Формула Сабита ибнКурра


 Если для натурального числа n>1 все три числа:

p=3×2n11,
q=3×2n1,
r=9×22n11,
 являются простыми, то числа 2npq и 2nr образуют пару дружественныхчисел.
 Эта формула даёт пары (220, 284), (, ) и (, ) соответственно дляn=2,4,7, но больше никаких пар дружественных чисел, которые моглибы быть получены по этой формуле для n<20000 не существует. Крометого, многие пары дружественных чисел, например, (, ), не могут бытьполучены по этой формуле.

Метод ВальтераБоро


 Если для пары дружественных чисел вида A=au и B=as числа s иp=u+s+1 являются простыми, причём a не делится на p, то при всехтех натуральных n, при которых оба числа q1=(u+1)pn+11 иq2=(u+1)(s+1)pn1 просты, числа B1=Apnq1 и B2=apnq2 —дружественные.

Открытыепроблемы


 Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел.известно более дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковойчётности.
 Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.
 Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, ноесли такая пара дружественных чисел существует, то их произведениедолжно быть больше .

Интересныефакты


 Пару дружественных чисел обнаружил в 1866 г. итальянский школьник —Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что этупару «проглядели» все великие математики.