Дружественные числа

Дружественные числа — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел M,N называют дружественной, если:

m1+m2+...+mk=N,
n1+n2+...+nl=M,
  где m1,m2,...mk — делители числа M, n1,n2,...nl — делители числа N.
 Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

История


 Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

  • Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.
  • Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

 Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:

  • и .
  • и .

 В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары; например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил, её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Примеры


 Ниже приведены все пары дружественных чисел вплоть до .

  1. (Пифагор, около 500 до н. э.)
  2. (Паганини, 1866)
  3. (Эйлер, 1747)
  4. (Эйлер, 1747)
  5. (Эйлер, 1750)
  6. (Эйлер, 1747)
  7. (Браун, 1939)
  8. (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
  9. (Эйлер, 1747)
  10. (Эйлер, 1750)
  11. (Эйлер, 1747)
  12. (Эйлер, 1747)
  13. (Рольф (Rolf), 1964)




























 Пары дружественных чисел образуют последовательность:

 , \ldots

Способы построения


Формула Сабита ибн Курра


 Если для натурального числа n>1 все три числа:

p=3×2n11,
q=3×2n1,
r=9×22n11,
  являются простыми, то числа 2npq и 2nr образуют пару дружественных чисел.
 Эта формула даёт пары (220, 284), (, ) и (, ) соответственно для n=2,4,7, но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для n<20000 не существует. Кроме того, многие пары дружественных чисел, например, (, ), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро


 Если для пары дружественных чисел вида A=au и B=as числа s и p=u+s+1 являются простыми, причём a не делится на p, то при всех тех натуральных n, при которых оба числа q1=(u+1)pn+11 и q2=(u+1)(s+1)pn1 просты, числа B1=Apnq1 и B2=apnq2 — дружественные.

Открытые проблемы


 Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. известно более дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.
 Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.
 Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше .

Интересные факты


 Пару дружественных чисел обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.