Гармоническое число делителя

Гармоническое число делителя (число Оре) — положительное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

 , \ldots.
  Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:

411+12+13+16=2.
  Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:


  \texttt\{frac\{12\}\{\{frac\{1\}\{1\}+\{frac\{1\}\{2\}+\{frac\{1\}\{4\}+\{frac\{1\}\{5\}+\{frac\{1\}\{7\}+\{frac\{1\}\{10\}
 +\{frac\{1\}\{14\}+\{frac\{1\}\{20\}+\{frac\{1\}\{28\}+\{frac\{1\}\{35\}+\{frac\{1\}\{70\}+\{frac\{1\}\{140\}\}=5
 5 является целым числом, а значит 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенные числа


 Для любого числа M произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу M, что непосредственно следует из определений. Таким образом, M является числом Оре с гармоническим средним делителем k в том и только в том случае, когда среднее делителей является частным от деления M на k.
 Оре показал, что любое совершенное число является гармоническим числом делителя. Так как сумма делителей совершенного числа M в точности равна 2M, среднее делителей равно M(2τ(M)), где τ(M) означает число делителей числа M. Для любого M(τ(M)) нечётна тогда и только тогда, когда M является полным квадратом, в противном случае каждому делителю d числа M можно сопоставить другой делитель — M/d. Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие есть) должны иметь множитель вида qα, где α1(mod4). Таким образом, для совершенного числа M(τ(M)) чётно и среднее делителей является произведением M на 2/τ(M). Таким образом, M является гармоническим числом делителя.
 Оре высказал предположение, что не существует нечётных гармонических чисел делителя, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Границы и компьютерный поиск


 Показано, что любое нечётное гармоническое число делителя выше 1 должно иметь степень простого делителя больше 107, а также что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует гармонических чисел делителя, меньших 1024.
 Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых гармонических чисел делителя, в результате были найдены все гармонические числа делителя до 2×109 и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.