Гиперсовершенное число

Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число для некоторого целого k. k-гиперсовершенное число — натуральное число n, для которого верно n = 1 + k(σ(n) − n − 1), где σ(n) — это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа). Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел, которые являются 1-гиперсовершенными.
 Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, \ldots (последовательность A034897 в OEIS), с соответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, \ldots (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, \ldots (последовательность A007592 в OEIS).

Список гиперсовершенных чисел


 Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.
kOEISЗначения i
1611, 21, 127, 149, 469, \ldots
2217, 61, 445, \ldots
2833, 89, 101, \ldots
3667, 95, 341, \ldots
424, 6, 42, 64, 65, \ldots
465, 11, 13, 53, 115, \ldots
5221, 173, \ldots
5811, 117, \ldots
7221, 49, \ldots
889, 41, 51, 109, 483, \ldots
966, 11, 34, \ldots
1003, 7, 9, 19, 29, 99, 145, \ldots

Гипердефицитность


 Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.
Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ k(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n) Число n называется k-гипернедостаточным, если δk(n) \textgreater 0.
 Заметим, что при k = 1 получается δ1(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δk(n) = 0.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δk-j(n) = -δk + j(n) для хотя бы одного j\textgreater0.