Гиперсовершенное число

Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число длянекоторого целого k. k-гиперсовершенное число —натуральное число n, для которого верно n = 1 +k(σ(n) − n − 1), где σ(n) —это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителейчисла). Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел, которыеявляются 1-гиперсовершенными.
 Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28,301, 325, 496, 697, \ldots (последовательность A034897 в OEIS), ссоответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, \ldots(последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа,которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, \ldots(последовательность A007592 в OEIS).

Список гиперсовершенныхчисел


 Следующая таблица приводит некоторые последовательностиk-гиперсовершенных чисел для некоторых k.
kOEISЗначения i
1611, 21, 127, 149, 469, \ldots
2217, 61, 445, \ldots
2833, 89, 101, \ldots
3667, 95, 341, \ldots
424, 6, 42, 64, 65, \ldots
465, 11, 13, 53, 115, \ldots
5221, 173, \ldots
5811, 117, \ldots
7221, 49, \ldots
889, 41, 51, 109, 483, \ldots
966, 11, 34, \ldots
1003, 7, 9, 19, 29, 99, 145, \ldots

Гипердефицитность


 Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чиселсвязана с гиперсовершенными числами.
Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и дляцелого k, -∞ k(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n) Число n называетсяk-гипернедостаточным, если δk(n) \textgreater0.
 Заметим, что при k = 1 получается δ1(n) = 2n-σ(n), чтоявляется стандартным традиционным определением недостаточного числа.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1)тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δk(n)= 0.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1),тогда и только тогда, когда для некоторого k, δk-j(n) =-δk + j(n) для хотя бы одного j\textgreater0.