Числа Армстронга

Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант , или число Армстронга — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда, чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.
 Например, десятичное число  — число Армстронга, потому что

 + + = 153.

Формальное определение


 Пусть n=i=1kdibi1 — число, записываемое dkdk1...d1 в системе счисления с основанием b.
 Если при некотором m случится так, что n=i=1kdim, то n является m-самовлюблённым числом. Если, сверх того, m=k, то n можно назвать истинным числом Армстронга.
 Очевидно, что при любом m может существовать лишь конечное число m-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого k, k9k<10k11.

Упоминания в литературе


 В «Апологии математика» , Г. Харди писал:

  «Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,

  153 = , 370 = ,
 371 = , 407 = .
  Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика.»

Числа Армстронга в десятичной системе


 В десятичной системе существует всего чисел Армстронга. В промежутке 1 \textless= N \textless= 10 находится следующее 32 N-значных числа Армстронга:

 , .
  Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр: .

Числа Армстронга в других системах счисления



  • В троичной системе счисления: 3, 3, 3, 3, 3, \ldots
  • В четверичной системе счисления: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, \ldots

Похожие классы чисел


 Иногда терминами «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и т. п.