Факторион

Факторион — натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Полный список факторионов



  • 1=1!
  • 2=2!
  • 145=1!+4!+5!
  • 40585=4!+0!+5!+8!+5!

Верхняя граница


 Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.
 Любое n-значное число не меньше 10n1. Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше 9!n, где 9!=362880. Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже 1081=10000000>9!8=2903040. Следовательно все факторионы состоят не более, чем из 7 цифр. Даже точнее — они меньше 79!=2540160.
 Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

Обобщения


В других системах счисления


 Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной:
ОснованиеМаксимальное кол-во цифрФакторионы
221, 10
321, 2
431, 2, 13
531, 2, 144
641, 2, 41, 42
751, 2
851, 2
961, 2, 62558
1071, 2, 145, 40585
1181, 2, 24, 44, 28453
1281, 2
1391, 2, 83790C5B
14101, 2, 8B0DD409C
15111, 2, 661, 662
16111, 2, 260F3B66BF9 +

k-факторионы


k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.
 Полные списки k-факторионов:

  1. k=2: 817926
  2. k=3: 138267, 1103790
  3. k=4: 12, 32, 104, 23076
  4. k=5: 10

Обобщения Пиковера


 В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:

  1. Факторион первого рода — равен произведению факториалов своих цифр.
  2. Факторион второго рода — при сложении факториалов можно разбивать не только на цифры, но и на подчисла.

 Оба определения порождают гораздо большие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы первого рода в десятичной системе только вырожденные — 1 и 2 , найдено несколько факторионов второго рода (жирным выделены единственные группировки цифр):

  • 2 432 902 008 177 819 519
  • 51 090 942 171 710 544 079 и 51 090 942 171 710 982 398
  • 403 291 461 126 605 635 584 809 043 и 403 291 461 126 605 635 584 814 796

 Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.