Числа харшад

Числа харшад, или числа Нивена, — натуральные числа, делящиеся нацело на сумму своих цифр. Таким числом является, например, , так как .
 Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.
 Первые 50 чисел харшад, не меньших 10:

 , 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.
  Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления, называются обобщёнными числами харшад. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.

История


 Числа харшад были исследованы индийским математиком Даттараей Рамчандрой Капрекаром. Слово «харшад» происходит от санскритского `великая радость'.

Оценка плотности распределения чисел харшад


 Пусть N(x) — количество чисел харшад, не больших x, тогда для любого ε \textgreater 0

x1εN(x)xloglogxlogx.
  Жан-Мари де Конинк, Николас Доён и Катаи показали и доказали, что

N(x)=(c+o(1))xlogx,
  где

c=1427ln101,1939.