Число Капрекара

Число Капрекара для данной системы счисления — этонеотрицательное целое число, квадрат которого в этой системе можноразбить на две части, сумма которых даёт исходное число. Например, 45является числом Капрекара, поскольку 452 = 2025 и20 + 25 = 45. Числа Капрекара названы по имени Д. Р. Капрекара.

Определение


 Пусть X — это неотрицательное целое. X является числомКапрекара по основанию b, если существует неотрицательные числаn, A и положительное B, удовлетворяющие условиям:

X2 = Abn + B,где 0 \textless B \textless bn
X = A + B
 Заметим, что X является также числом Капрекара по основаниюbn для данного n. В более узком смыслемы можем определить множество K(N) для данного целогочисла N как множество целых чисел X, для которых

X2 = AN + B, где 0 \textlessB \textless N
X = A + B
 Каждое число Капрекара X по основанию b тогда попадает водно из множеств K(b), K(''b2),K(b3),\ldots.

Примеры


 297 является числом Капрекара по основанию 10, поскольку2972 = 88209, которое можно разбить на 88 и 209 и 88 +209 = 297. По соглашению, вторая часть может начинаться с 0, но недолжна быть нулевой. Например, 999 является числом Капрекара пооснованию 10, поскольку 9992 = 998001, которое можноразбить на 998 и 001, 998 + 001 = 999. А вот 100 числом Капрекара неявляется, хотя 1002 = 10000 и 100 + 00 = 100, втораячасть равна нулю.
 Несколько первых чисел Капрекара по основанию 10:

 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777,9999, 17344, 22222, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819,187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830,499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 643357, 648648, 670033, 681318,791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, ...
 В частности, 9, 99, 999\ldots являются числами Капрекара. Более обще,для любого основания b существует бесконечно много чиселКапрекара, включая все числа вида bn − 1.

Другиеоснования


 По основанию 12 числа Капрекара равны

 1, E, 56, 66, EE, 444, 778, EEE, 12XX, 1640, 2046, 2929, 3333, 4973,5E60, 6060, 7249, 8889, 9293, 9E76, X580, X912, EEEE, 22223, 48730,72392, 99999, EEEEE, 12E649, 16EX51, 1X1X1X, 222222, 22X54X, 26X952,35186E, 39X39X, 404040, 4197X2, 450770, 5801E8, 5EE600, ...
 По основанию 16 числа Капрекара равны

 1, 6, A, F, 33, 55, 5B, 78, 88, AB, CD, FF, 15F, 334, 38E, 492, 4ED,7E0, 820, B13, B6E, C72, CCC, EA1, FA5, FFF, 191A, 2A2B, 3C3C, 4444,5556, 6667, 7F80, 8080, 9999, AAAA, BBBC, C3C4, D5D5, E6E6, FFFF, 1745E,20EC2, 2ACAB, 2D02E, 30684, 3831F, 3E0F8, 42108, 47AE1, 55555, 62FCA,689A3, 7278C, 76417, 7A427, 7FE00, 80200, 85BD9, 89AE5, 89BE9, 8D874,9765D, 9D036, AAAAB, AF0B0, B851F, BDEF8, C1F08, C7CE1, CF97C, D5355,...

Свойства



  • В 2000-м году было показано, что числа Капрекара по основанию b являются биекцией с bn – 1 в следующем смысле. Пусть Inv(a,b) означает числа a по модулю b, а именно наименьшее положительное целое число m, такое что am ≡ 1 (mod b). Тогда число X входит в множество K(N) (определённое выше) тогда и только тогда, когда для некоторого унитарного делителя d числа N − 1. В частности,
    • Для любого X в K(N), N − X содержится в K(N).
    • В двоичной системе все чётные совершенные числа являются числами Капрекара.