Репьюниты

Репьюниты (, от  — повторённая единица) —натуральные числа R(b,n), запись которых в системе счисления соснованием b>1 состоит из одних единиц. В десятичной системесчисления репьюниты обозначаются Rn: R1=1, R2=11,R3=111 и т. д., и общий вид для них:

Rn=10n19,n=1,2,3,
 Репьюниты являются частным случаем репдигитов.

Факторизация десятичныхрепьюнитов


 (Простые числа в факторизациях, окрашенные в означает, что это новыепростые числа в факторизациях Rn, котороене делит Rk для всех k \textlessn)
R21 =3 · 37 · · 239 · · 4649 ·
R22 =112 · · · · 21649 ·513239
R23 =
R24 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 ·9901 ·
R25 =41 · 271 · · ·
R26 =11 · 53 · 79 · · 265371653 ·
R27 =33 · 37 · · 333667 ·
R28 =11 · · 101 · 239 · · 4649 · 909091 ·
R29 =· · · ·
R30 =3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · · · 271· · 9091 · 2906161

Свойства



  • Известно только 9 простых репьюнитов Rn для n, равных:





  • В результате умножения RiRj при 9ij получается палиндромическое число вида (12j21) из i+j1 цифр с цифрой j посередине.
  • Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
  • Всякое положительное кратное репьюнита Rn содержит не менее n ненулевых цифр.
  • Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: 1111=n=1116n2. Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.