Самопорождённые числа

Самопорождённые числа — числа, которые нельзя получитьсложением какого-либо другого числа, называемого генератором, с суммойего цифр.

Цифросложение и порождённыечисла


 Рассмотрим процедуру, которую Капрекар называет цифросложением.Выберем любое целое число и прибавим к нему сумму его цифр. Например,если мы выберем число 47, то сумма его цифр 4 + 7 = 11 и 47 + 11 = 58.Новое число 58 называется порождённым числом, а исходное число47 — его генератором. Процесс можно повторять неограниченно,образуя порождаемую цифросложением последовательность 47, 58, 71, 79,\ldots
 Нерекуррентная формула для частичной суммы членов этойпоследовательности неизвестна, но существует простая формула для суммыцифр всех чисел в ней: нужно вычесть первое число из последнего иприбавить сумму цифр последнего числа.
 Порождённые числа могут иметь более одного генератора. Наименьшее число,имеющее более одного генератора (Капрекар называет такие числасоединениями), равно 101 и у него два генератора: 91 и 100.Наименьшее число-соединение с тремя генераторами равно10 000 000 000 001 и порождено числами 10 000 000 000 000,9 999 999 999 901 и 9 999 999 999 892. Наименьшее число с четырьмягенераторами, открытое Капрекаром 7 июня 1961 года, имеет 25 знаков:1024 + 102. Таким образом, наименьшие числа, имеющиеn=2, 3, \ldots генераторов образуют последовательность:

 101, 10000000000001, 1000000000000000000000102, \ldots
 Капрекару удалось также открыть, как он предполагает, наименьшиечисла-соединения с 5 и 6 генераторами.

Самопорождённыечисла


 Самопорождённое число — это число, у которого нет генератора, пословам Капрекара, «оно порождает самое себя». Существует бесконечномного самопорождённых чисел, но встречаются они гораздо реже, чемпорождённые числа. Самопорождённые числа образуют последовательность:

 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, \ldots
 Простые самопорождённые числа называются самопростыми числами.Хорошо известное «циклическое» число 142 857 (при умножении его на числаот 1 до 6 всегда получается произведение, записанное теми же 6 цифрами,только переставленными в циклическом порядке) принадлежит к числусамопорождённых чисел. Самопорождёнными являются и такие числа, как11 111 111 111 111 111 111 и 3 333 333 333.
 Самопорождёнными являются некоторые степени числа 10. Число 10 порожденочислом 5, число 100 — числом 86, 1 000 — числом 977, 10 000 —числом 9 968 и 100 000 — числом 99959. Однако 1 000 000 являетсясамопорождённым числом, а следующая за миллионом степень десятки,которая является самопорождённым числом, — это 1016.
 Пока не удалось найти нерекуррентную формулу, позволяющую получать всесамопорождённые числа, но есть простой алгоритм, позволяющий проверитьлюбое число на самопорождённость (т. е. установить, является ли данноечисло самопорождённым).

История


 Самопорождённые числа впервые описаны в 1949 году индийским математикомД. Р. Капрекаром, который посвятил им несколько книг. Долгое время запределами Индии самопорождённые числа не были известны, пока в 1974 годуо них (под другим названием) не появилась статья в журнале AmericanMathematical Monthly, в которой доказывалось, что существует бесконечноемножество самопорождённых чисел.
 Во втором томе «Детской энциклопедии» (СССР), посвящённом математике,есть статья о самопорождённых числах, где они называются«числами-самородками».