Числа Смита

Число Смита — такое составное число, сумма цифр которого (в некоторой системе счисления, обычно в десятичной) равняется сумме цифр всех его простых сомножителей с учётом кратности. Так, примером числа Смита может служить 202 = , поскольку , и .
 Первыми пятьюдесятью числами Смита являются:

  4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, \ldots
  В 1987 американский математик Уэйн Макдэниел доказал, что существует бесконечно много чисел Смита. Количество чисел Смита, меньших 10n для n=1,2,\ldots равно:

 , \ldots

История


 Понятие чисел Смита было введено Альбертом Вилански из Университета Лехай в 1982. Просматривая свою телефонную книжку, математик обратил внимание на то, что телефонный номер его зятя Гарольда Смита (493-7775) обладал тем интересным свойством, что сумма его цифр равнялась сумме цифр всех его простых сомножителей. Число 4 937 775 раскладывается на простые сомножители следующим образом: = . Сумма цифр телефонного номера равна , и сумма цифр его разложения на простые сомножители также равна . Вилански назвал такой тип чисел по имени своего зятя. Так как этим свойством обладают все простые числа, Вилански не включил их в определение.

Свойства


 Наибольшим известным числом Смита (по данным на 2005) является

  9·R1031·(104594+3·102297+1)1476·103913210,
  где R1031 = (101031−1)/9 — репьюнит.
 Два последовательных натуральных числа, являющиеся числами Смита (например, 728 и 729, 2964 и 2965), называются близнецами Смита. В настоящее время неизвестно, бесконечно ли количество близнецов Смита. Аналогично определяются тройки, четверки и т. д. Смита. Начальным элементом наименьшей n-ки Смита для n=1,2,\ldots являются:

 , \ldots
  Существует бесконечное количество чисел Смита, десятичная запись которых представляет палиндром (читается одинаково слева направо и справа налево).