Числа Смита

Число Смита — такое составное число, сумма цифр которого (внекоторой системе счисления, обычно в десятичной) равняется сумме цифрвсех его простых сомножителей с учётом кратности. Так, примером числаСмита может служить 202 = , поскольку , и .
 Первыми пятьюдесятью числами Смита являются:

 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382,391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645,648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895,913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, \ldots
 В 1987 американский математик Уэйн Макдэниел доказал, что существуетбесконечно много чисел Смита. Количество чисел Смита, меньших10n для n=1,2,\ldots равно:

 , \ldots

История


 Понятие чисел Смита было введено Альбертом Вилански из УниверситетаЛехай в 1982. Просматривая свою телефонную книжку, математик обратилвнимание на то, что телефонный номер его зятя Гарольда Смита (493-7775)обладал тем интересным свойством, что сумма его цифр равнялась суммецифр всех его простых сомножителей. Число 4 937 775 раскладывается напростые сомножители следующим образом: = . Сумма цифр телефонного номераравна , и сумма цифр его разложения на простые сомножители также равна .Вилански назвал такой тип чисел по имени своего зятя. Так как этимсвойством обладают все простые числа, Вилански не включил их вопределение.

Свойства


 Наибольшим известным числом Смита (по данным на 2005) является

 9·R1031·(104594+3·102297+1)1476·103913210,
 где R1031 = (101031−1)/9 —репьюнит.
 Два последовательных натуральных числа, являющиеся числами Смита(например, 728 и 729, 2964 и 2965), называются близнецамиСмита. В настоящее время неизвестно, бесконечно ли количество близнецовСмита. Аналогично определяются тройки, четверки и т. д. Смита. Начальнымэлементом наименьшей n-ки Смита для n=1,2,\ldotsявляются:

 , \ldots
 Существует бесконечное количество чисел Смита, десятичная запись которыхпредставляет палиндром (читается одинаково слева направо и справаналево).